Exercício 14
Considere duas ondas sonoras, geradas por uma mesma fonte sonora, chegando a um ponto P.
(b) Para que diferenças de fase \delta a interferência é construtiva?
Passo 1
O enunciado pede, especificamente, para responder: “Para que diferenças de fase \delta a interferência é construtiva?”
Informações relevantes dadas (peguei estas informações do enunciado e da imagem):
Há duas ondas sonoras chegando ao ponto P.
As ondas são geradas pela mesma fonte sonora (logo têm mesma frequência e são coerentes entre si).
Existe uma diferença de fase entre as ondas ao chegarem em P; essa diferença é chamada de \delta.
Passo 2
Primeiro conceito importante — superposição de duas ondas senoidais de mesma frequência e amplitudes iguais. Se cada onda no ponto P pode ser escrita como uma função do tempo:
Interpretação física desta expressão: o termo 2A\cos\!\left(\omega t+\frac{\delta}{2}\right) é uma oscilação no tempo com amplitude multiplicada por 2\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right). Assim a amplitude máxima (valor absoluto do fator multiplicador) do sinal total é
Para que a interferência seja construtiva queremos que a amplitude resultante seja máxima (ou seja, as ondas se somem reforçando-se). O máximo possível ocorre quando \left|\cos\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)\right|=1.
Passo 5
Resolver \left|\cos\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)\right|=1. Isso quer dizer que
onde m é qualquer número inteiro (m\in\mathbb{Z}). Portanto a condição de interferência construtiva, em termos de diferença de fase, é
\delta = 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.
Passo 6
Conectar com a diferença de caminho (útil na prática). Frequentemente a diferença de fase \delta surge porque uma onda percorre um caminho a mais \Delta x até P. A relação entre diferença de caminho \Delta x e diferença de fase \delta é
\delta = k\,\Delta x,
onde k é o número de onda. Como k=\dfrac{2\pi}{\lambda} (sendo \lambda o comprimento de onda), obtemos
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x.
Passo 7
Substituindo a condição construtiva \delta=2\pi m na relação com \Delta x temos a condição equivalente em termos de caminho:
\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x = 2\pi m \quad\Rightarrow\quad \Delta x = m\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.
Isto significa, em palavras, que quando a diferença de caminho entre as duas trajetórias até P é um múltiplo inteiro do comprimento de onda a interferência é construtiva.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar:
m=0: \delta=0 (mesma fase) → máxima construção (soma perfeita).
m=1: \delta=2\pi → novamente as cristas encontram cristas (um ciclo completo de diferença) → construção.
m=-1: \delta=-2\pi (equivalente a 2\pi modulo 2\pi) → também construtivo.
Observação curta e motivadora: quando estiver na prova, basta lembrar a regra curta "construtiva quando \delta é múltiplo de 2\pi" e, se der a diferença de caminho, traduzir com \Delta x = m\lambda. Você já está no caminho certo!
Resposta
\delta = 2\pi m,\\ m\in\mathbb{Z}. \Delta x = m\lambda,\\ m\in\mathbb{Z}.