Exercício 14
Considere duas ondas sonoras, geradas por uma mesma fonte sonora, chegando a um ponto P.
(b) Para que diferenças de fase \delta a interferência é construtiva?

Passo 1

O enunciado pede, especificamente, para responder: “Para que diferenças de fase \delta a interferência é construtiva?”
Informações relevantes dadas (peguei estas informações do enunciado e da imagem):
  • Há duas ondas sonoras chegando ao ponto P.
  • As ondas são geradas pela mesma fonte sonora (logo têm mesma frequência e são coerentes entre si).
  • Existe uma diferença de fase entre as ondas ao chegarem em P; essa diferença é chamada de \delta.

Passo 2

Primeiro conceito importante — superposição de duas ondas senoidais de mesma frequência e amplitudes iguais. Se cada onda no ponto P pode ser escrita como uma função do tempo:
\text{onda}_1(t)=A\cos(\omega t)
\text{onda}_2(t)=A\cos(\omega t+\delta),
então o sinal total em P é a soma:
\text{sinal}(t)=A\cos(\omega t)+A\cos(\omega t+\delta).
Aqui:
  • A é a amplitude (mesma para as duas ondas, por hipótese),
  • \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f),
  • \delta é a diferença de fase entre as ondas no ponto P.

Passo 3

Vamos somar as duas cossenos usando a fórmula de soma de cossenos. A identidade trigonométrica útil é:
\cos u + \cos v = 2\cos\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Aplicando com u=\omega t e v=\omega t+\delta obtemos:
\text{sinal}(t)=2A\cos\!\left(\frac{2\omega t+\delta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{-\delta}{2}\right).
Simplificando:
\text{sinal}(t)=2A\cos\!\left(\omega t+\frac{\delta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right).

Passo 4

Interpretação física desta expressão: o termo 2A\cos\!\left(\omega t+\frac{\delta}{2}\right) é uma oscilação no tempo com amplitude multiplicada por 2\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right). Assim a amplitude máxima (valor absoluto do fator multiplicador) do sinal total é
A_{\text{resultante}}=2A\left|\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right)\right|.
Para que a interferência seja construtiva queremos que a amplitude resultante seja máxima (ou seja, as ondas se somem reforçando-se). O máximo possível ocorre quando \left|\cos\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)\right|=1.

Passo 5

Resolver \left|\cos\!\left(\dfrac{\delta}{2}\right)\right|=1. Isso quer dizer que
\cos\!\left(\frac{\delta}{2}\right)=\pm 1.
As soluções para isso são
\frac{\delta}{2}=m\pi \quad\Rightarrow\quad \delta=2m\pi,
onde m é qualquer número inteiro ( m\in\mathbb{Z}). Portanto a condição de interferência construtiva, em termos de diferença de fase, é
\delta = 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Conectar com a diferença de caminho (útil na prática). Frequentemente a diferença de fase \delta surge porque uma onda percorre um caminho a mais \Delta x até P. A relação entre diferença de caminho \Delta x e diferença de fase \delta é
\delta = k\,\Delta x,
onde k é o número de onda. Como k=\dfrac{2\pi}{\lambda} (sendo \lambda o comprimento de onda), obtemos
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x.

Passo 7

Substituindo a condição construtiva \delta=2\pi m na relação com \Delta x temos a condição equivalente em termos de caminho:
\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x = 2\pi m \quad\Rightarrow\quad \Delta x = m\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.
Isto significa, em palavras, que quando a diferença de caminho entre as duas trajetórias até P é um múltiplo inteiro do comprimento de onda a interferência é construtiva.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar:
  • m=0: \delta=0 (mesma fase) → máxima construção (soma perfeita).
  • m=1: \delta=2\pi → novamente as cristas encontram cristas (um ciclo completo de diferença) → construção.
  • m=-1: \delta=-2\pi (equivalente a 2\pi modulo 2\pi) → também construtivo.
Observação curta e motivadora: quando estiver na prova, basta lembrar a regra curta "construtiva quando \delta é múltiplo de 2\pi" e, se der a diferença de caminho, traduzir com \Delta x = m\lambda. Você já está no caminho certo!

Resposta

\delta = 2\pi m,\\ m\in\mathbb{Z}.

\Delta x = m\lambda,\\ m\in\mathbb{Z}.

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