1.12.2 O cálculo do momento magnético de um circuito fechado de corrente leva à integral de linha
\oint \mathbf{r} \times d \mathbf{r} .
(a) Integre ao redor do perímetro de um circuito de corrente (no plano x y) e mostre que a grandeza escalar dessa integral de linha é duas vezes a área da superfície envolvida.
(b) O perímetro de uma elipse é descrito por \mathbf{r}=\hat{\mathbf{x}} a \cos \theta+\hat{\mathbf{y}} b \operatorname{sen} \theta. Pela parte (a), mostre que a área da elipse é \pi a b.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um circuito fechado no plano xy, a integral de linha
\oint \mathbf{r}\times d\mathbf{r}
tem módulo igual a duas vezes a área A da região envolvida. Em seguida, aplicamos esse resultado a uma elipse parametrizada por \mathbf{r}(\theta)=\hat{\mathbf{x}}\,a\cos\theta+\hat{\mathbf{y}}\,b\sin\theta
para obter a fórmula da área da elipse. Vamos usar cálculo vetorial e o Teorema de Green.
Passo 2
Escrevemos em coordenadas componentes \mathbf{r}=(x,y,0) e d\mathbf{r}=(dx,dy,0). Então