1.12.2 O cálculo do momento magnético de um circuito fechado de corrente leva à integral de linha
\oint \mathbf{r} \times d \mathbf{r} .
(a) Integre ao redor do perímetro de um circuito de corrente (no plano x y) e mostre que a grandeza escalar dessa integral de linha é duas vezes a área da superfície envolvida.
(b) O perímetro de uma elipse é descrito por \mathbf{r}=\hat{\mathbf{x}} a \cos \theta+\hat{\mathbf{y}} b \operatorname{sen} \theta. Pela parte (a), mostre que a área da elipse é \pi a b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um circuito fechado no plano xy, a integral de linha
\oint \mathbf{r}\times d\mathbf{r}
tem módulo igual a duas vezes a área A da região envolvida. Em seguida, aplicamos esse resultado a uma elipse parametrizada por \mathbf{r}(\theta)=\hat{\mathbf{x}}\,a\cos\theta+\hat{\mathbf{y}}\,b\sin\theta
para obter a fórmula da área da elipse. Vamos usar cálculo vetorial e o Teorema de Green.

Passo 2

Escrevemos em coordenadas componentes \mathbf{r}=(x,y,0) e d\mathbf{r}=(dx,dy,0). Então
\mathbf{r}\times d\mathbf{r} =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}}&\hat{\mathbf{y}}&\hat{\mathbf{z}}\\\ x&y&0\\\ dx&dy&0 \end{vmatrix} =\hat{\mathbf{z}}\,(x\,dy - y\,dx).
Assim
\oint \mathbf{r}\times d\mathbf{r} =\hat{\mathbf{z}}\;\oint (x\,dy - y\,dx),
e o módulo dessa integral é
\bigl\lvert\oint \mathbf{r}\times d\mathbf{r}\bigr\rvert =\Bigl\lvert\oint (x\,dy - y\,dx)\Bigr\rvert.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para uma curva fechada positiva em xy temos
\oint (x\,dy - y\,dx) =2\iint_{S} dA =2A.
Logo
\bigl\lvert\oint \mathbf{r}\times d\mathbf{r}\bigr\rvert =2A.

Passo 4

Concluímos a parte (a): a integral de linha vetorial tem módulo igual a duas vezes a área da superfície encerrada.

Passo 5

Agora, para a elipse parametrizada por
x=a\cos\theta,\quad y=b\sin\theta,
temos
dx=-a\sin\theta\,d\theta, \quad dy=b\cos\theta\,d\theta.
Então o integrando é
x\,dy - y\,dx =a\cos\theta\,(b\cos\theta\,d\theta) -\;b\sin\theta\,(-a\sin\theta\,d\theta) =a b(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta =a b\,d\theta.

Passo 6

Integramos de \theta=0 a 2\pi:
\oint (x\,dy - y\,dx) =\int_{0}^{2\pi}a b\,d\theta =2\pi a b.
Pela parte (a), isso vale 2A, logo 2A=2\pi a b e
A=\pi a b.

Resposta

(a) \bigl\lvert\oint\mathbf{r}\times d\mathbf{r}\bigr\rvert=2A.
(b) A=\pi a b.

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