1.12.1 Dado um vetor \mathbf{t}=-\hat{\mathbf{x}} y+\hat{\mathbf{y}} x, mostre, com a ajuda do teorema de Stokes, que a integral ao redor de uma curva fechada contínua no plano x y,
\frac{1}{2} \oint \mathbf{t} \cdot d \boldsymbol{\lambda}=\frac{1}{2} \oint(x d y-y d x)=A
é a área limitada pela curva.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial no plano xy \mathbf{t}=-\hat{\mathbf{x}}\,y+\hat{\mathbf{y}}\,x
e pede para mostrar, usando o teorema de Stokes (forma planar, ou seja, o teorema de Green), que
\frac12\oint_{C}\mathbf{t}\cdot d\boldsymbol{\lambda} =\frac12\oint_{C}(x\,dy-y\,dx)=A,
onde A é a área do domínio fechado por C. Para isso, precisamos reescrever a integral de linha como \oint(P\,dx+Q\,dy) e aplicar Green.

Passo 2

Escrevemos
\mathbf{t}\cdot d\boldsymbol{\lambda} =(-y)\,dx+(x)\,dy,
logo identificamos
P(x,y)=-y, \qquad Q(x,y)=x.

Passo 3

O teorema de Green (caso planar de Stokes) diz que, para uma curva fechada C orientada positivamente que limita a região R,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 4

Calculemos o integrando:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x)}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (-y)}{\partial y}=-1,
portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-(-1)=2.
Assim
\oint_{C}(x\,dy-y\,dx) =\iint_{R}2\,dA =2\iint_{R}dA =2A.

Passo 5

Multiplicando por \tfrac12, obtemos
\frac12\oint_{C}(x\,dy-y\,dx) =\frac12\cdot 2A =A,
que é justamente a área limitada por C.

Resposta

A

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