12- Um capital foi aplicado à taxa de 45 \% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado 0 resgate no valor de \mathrm{R} \ 107.800,00$. Qual o valor do capital inicial?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (transcritas exatamente do problema):
  • Taxa de juros: 45\% ao ano.
  • Data da aplicação: 12/02/90.
  • Data do resgate: 03/05/90.
  • Valor resgatado (montante): R\$\,107.800,00.
O que é pedido: determinar o valor do capital inicial (o montante aplicado em 12/02/90) sabendo que, em 03/05/90, foi resgatado R\$\,107.800,00.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta e motivo):
  • Vou usar o modelo de juros simples, porque o exercício trata de um período curto (meses/dias) e é o método padrão em muitos exercícios introdutórios de capitalização quando não se fala explicitamente em capitalização composta.
  • A fórmula básica de juros simples é:
M = C\bigl(1 + r\,t\bigr),
onde:
  • M é o montante (valor no resgate),
  • C é o capital inicial (o que queremos),
  • r é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui por ano), expressa em decimal (por exemplo 45\% vira 0,45),
  • t é o tempo decorrido, expresso na mesma unidade de tempo da taxa (aqui em anos).
Interpretação física da fórmula (rápida e prática): o juro gerado é C\cdot r\cdot t; somando ao capital C obtém-se o montante M. Isso é linear no tempo — por isso “simples”.

Passo 3

Calcular o tempo t entre as datas em anos:
  • Vou contar os dias efetivos entre 12/02/1990 e 03/05/1990 (ano de 1990 não é bissexto, fevereiro tem 28 dias).
  • Cálculo dos dias:
    • dias restantes em fevereiro: 28 - 12 = 16 dias (contando de 13/02 a 28/02),
    • março: 31 dias,
    • abril: 30 dias,
    • dias de maio até o dia 03: 3 dias (1/5, 2/5, 3/5).
  • Soma total de dias: 16 + 31 + 30 + 3 = 80 dias.
  • Transformando em anos (usando ano civil de 365 dias):
t = \frac{80}{365}.

Passo 4

Montar a equação e isolar C:
  • A fórmula M = C(1 + r t) isolando C
C = \frac{M}{1 + r t}.
  • Substituindo M = 107800, r = 0,45 e t = \dfrac{80}{365}:
C = \frac{107800}{1 + 0,45\cdot\frac{80}{365}}.
  • Para evitar muitos números decimais, multiplico numerador e denominador por 365:
C = \frac{107800\cdot 365}{365 + 0,45\cdot 80}.
  • Calculo 0,45\cdot 80 = 36, portanto o denominador é 365 + 36 = 401. Fica:
C = \frac{107800\cdot 365}{401}.
  • Calculando o numerador: 107800\cdot 365 = 39\,347\,000. Assim
C = \frac{39\,347\,000}{401}.
  • Fazendo a divisão inteira:
    • 401 \times 98\,122 = 39\,346\,922, resto 78.
    • Logo C = 98\,122 + \dfrac{78}{401}.
  • Transformando a fração em decimal: \dfrac{78}{401}\approx 0,194514\ldots
  • Assim C \approx 98\,122,194514\ldots

Passo 5

Arredondamento e resposta em reais:
  • Como estamos lidando com moeda, arredondo para centavos (duas casas decimais): C \approx R\$\,98.122,19.
  • Observação final rápida e motivadora: o truque de multiplicar por 365 limpou os decimais, e a conta deu um resultado exato em fração que foi fácil de transformar em reais com arredondamento.

Resposta

R\$98.122,19

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