12- Um capital foi aplicado à taxa de
ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado 0 resgate no valor de
107.800,00$. Qual o valor do capital inicial?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (transcritas exatamente do problema):
- Taxa de juros:
ao ano. - Data da aplicação:
. - Data do resgate:
. - Valor resgatado (montante):
.
O que é pedido: determinar o valor do capital inicial (o montante aplicado em
) sabendo que, em
, foi resgatado
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta e motivo):
- Vou usar o modelo de juros simples, porque o exercício trata de um período curto (meses/dias) e é o método padrão em muitos exercícios introdutórios de capitalização quando não se fala explicitamente em capitalização composta.
- A fórmula básica de juros simples é:
onde:
-
é o montante (valor no resgate), -
é o capital inicial (o que queremos), -
é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui por ano), expressa em decimal (por exemplo vira ), -
é o tempo decorrido, expresso na mesma unidade de tempo da taxa (aqui em anos).
Interpretação física da fórmula (rápida e prática): o juro gerado é
; somando ao capital
obtém-se o montante
. Isso é linear no tempo — por isso “simples”.
Passo 3
Calcular o tempo
entre as datas em anos:
- Vou contar os dias efetivos entre
e (ano de 1990 não é bissexto, fevereiro tem 28 dias). - Cálculo dos dias:
- dias restantes em fevereiro:
dias (contando de 13/02 a 28/02), - março:
dias, - abril:
dias, - dias de maio até o dia 03:
dias (1/5, 2/5, 3/5).
- dias restantes em fevereiro:
- Soma total de dias:
dias. - Transformando em anos (usando ano civil de
dias):
Passo 4
Montar a equação e isolar
:
- A fórmula
isolando dá
- Substituindo
, e :
- Para evitar muitos números decimais, multiplico numerador e denominador por
:
- Calculo
, portanto o denominador é . Fica:
- Calculando o numerador:
. Assim
- Fazendo a divisão inteira:
-
, resto . - Logo
.
-
- Transformando a fração em decimal:
- Assim
Passo 5
Arredondamento e resposta em reais:
- Como estamos lidando com moeda, arredondo para centavos (duas casas decimais):
. - Observação final rápida e motivadora: o truque de multiplicar por
limpou os decimais, e a conta deu um resultado exato em fração que foi fácil de transformar em reais com arredondamento.