11- Uma pessoa aplicou R$90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de
180.000,00$. Qual foi a taxa anual?
Passo 1
O enunciado pergunta qual foi a taxa anual obtida numa aplicação financeira em que:
- Capitais iniciais e finais:
e . - Tempo:
anos.
O que se pede: encontrar a taxa anual (em porcentagem) que transformaem em anos.
Passo 2
Primeiro vamos entender os dois modelos básicos de cálculo de retorno que costumam aparecer em provas, para escolher o correto:
- Juros simples: o juro é calculado sempre sobre o capital inicial. A fórmula é
, onde é a taxa por período e o número de períodos. - Juros compostos: os juros de cada período entram no capital para gerar juros nos períodos seguintes. A fórmula é
.
Para uma aplicação de mercado financeiro com horizonte de anos e montante que dobrou (
a partir de
) o modelo padrão é juros compostos. Então vamos usar a fórmula dos juros compostos.
Passo 3
Apresentando a fórmula dos juros compostos e explicando as variáveis:
onde
-
é o montante final ( ), -
é o capital inicial ( ), -
é a taxa por período (a taxa anual que queremos), -
é o número de períodos ( anos).
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
:
Calculando a razão:
Passo 5
Isolando
: precisamos tirar a quinta raiz de
. Aplicando logaritmo ou raiz:
Portanto
Para calcular numericamente podemos usar logaritmo natural. Usando as propriedades
:
Valores numéricos (passo a passo):
Logo
Isso dá
Passo 6
Convertendo para porcentagem anual:
Arredondando para duas casas decimais:
ao ano.
Passo 7
Verificação rápida (checar que dobra em 5 anos): calcular
com
.
Como o resultado é aproximadamente
, o montante final é
, confirmado.