11- Uma pessoa aplicou R$90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de \mathrm{R} \180.000,00$. Qual foi a taxa anual?

Passo 1

O enunciado pergunta qual foi a taxa anual obtida numa aplicação financeira em que:
  • Capitais iniciais e finais: P=\mathrm{R}\$\,90{.}000{,}00 e A=\mathrm{R}\$\,180{.}000{,}00.
  • Tempo: n=5 anos.
    O que se pede: encontrar a taxa anual (em porcentagem) que transforma P em A em 5 anos.

Passo 2

Primeiro vamos entender os dois modelos básicos de cálculo de retorno que costumam aparecer em provas, para escolher o correto:
  • Juros simples: o juro é calculado sempre sobre o capital inicial. A fórmula é A=P\bigl(1+in\bigr), onde i é a taxa por período e n o número de períodos.
  • Juros compostos: os juros de cada período entram no capital para gerar juros nos períodos seguintes. A fórmula é A=P(1+i)^n.
Para uma aplicação de mercado financeiro com horizonte de anos e montante que dobrou ( 180000 a partir de 90000) o modelo padrão é juros compostos. Então vamos usar a fórmula dos juros compostos.

Passo 3

Apresentando a fórmula dos juros compostos e explicando as variáveis:
A = P(1+i)^n
onde
  • A é o montante final ( \mathrm{R}\$\,180{.}000{,}00),
  • P é o capital inicial ( \mathrm{R}\$\,90{.}000{,}00),
  • i é a taxa por período (a taxa anual que queremos),
  • n é o número de períodos ( 5 anos).

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
180{.}000 = 90{.}000\,(1+i)^5.
Dividindo ambos os lados por 90{.}000:
\frac{180{.}000}{90{.}000} = (1+i)^5.
Calculando a razão:
2 = (1+i)^5.

Passo 5

Isolando i: precisamos tirar a quinta raiz de 2. Aplicando logaritmo ou raiz:
1+i = 2^{1/5}.
Portanto
i = 2^{1/5}-1.
Para calcular numericamente podemos usar logaritmo natural. Usando as propriedades \ln(2^{1/5})=\tfrac{1}{5}\ln 2:
1+i = e^{\frac{\ln 2}{5}}.
Valores numéricos (passo a passo):
\ln 2 \approx 0{,}693147, \qquad \frac{\ln 2}{5} \approx 0{,}138629.
Logo
1+i \approx e^{0{,}138629} \approx 1{,}148698.
Isso dá
i \approx 1{,}148698 - 1 = 0{,}148698.

Passo 6

Convertendo para porcentagem anual:
i \approx 0{,}148698 \quad\Rightarrow\quad i \approx 14{,}8698\% \text{ ao ano.}
Arredondando para duas casas decimais: i \approx 14{,}87\% ao ano.

Passo 7

Verificação rápida (checar que dobra em 5 anos): calcular (1+i)^5 com 1+i\approx1{,}148698.
1{,}148698^{2}\approx1{,}319508, \qquad 1{,}148698^{4}\approx1{,}741101, \qquad 1{,}148698^{5}\approx1{,}741101\times1{,}148698\approx2{,}000.
Como o resultado é aproximadamente 2, o montante final é P\cdot 2 = 180{.}000, confirmado.

Resposta

i \approx 14{,}87\%\\ \text{ao ano}

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