P 12.5-1 Considere um circuito Y- \Delta. As tensões da fonte em Y são \mathbf{V}_{\mathrm{a}}=(208 / \sqrt{3}) /-30^{\circ} \mathrm{V} \mathrm{rms}, \mathbf{V}_{\mathrm{b}}=(208 / \sqrt{3}) /-150^{\circ} \mathrm{V} \mathrm{rms} \mathrm{e} \mathbf{V}_{\mathrm{c}}=(208 / \sqrt{3}) / 90^{\circ} \mathrm{V} rms. A carga em \Delta é equilibrada. A impedância de cada fase é \mathbf{Z}=12 / 30^{\circ} \Omega. Determine as correntes de linha e calcule a potência dissipada na carga.
Resposta: P=9360 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Tensões de fase (fase-neutro) da fonte (valores extraídos do enunciado):
    \mathbf{V}_{a}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ\\ \mathrm{V}, \qquad \mathbf{V}_{b}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle -150^\circ\\ \mathrm{V}, \qquad \mathbf{V}_{c}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.
    Observação: \frac{208}{\sqrt{3}} vale 120 V (aproximadamente), portanto as tensões de fase têm módulo 120 V.
  • A carga está ligada em \Delta (delta) e é equilibrada: cada ramo do delta tem a mesma impedância.
  • Impedância de cada fase da carga (valor extraído do enunciado):
    \mathbf{Z}=12\angle 30^\circ\\ \Omega.
  • Pedidos:
    1. Determinar as correntes de linha (os fasores das correntes que saem da fonte em a, b e c).
    2. Calcular a potência dissipada (potência ativa) na carga.

Passo 2

Entendendo a relação entre tensões e como obter as tensões de fase do delta:
  • Em um sistema trifásico equilibrado, a tensão de linha (linha a linha) tem módulo \sqrt{3} vezes a tensão de fase (fase-neutro) e um deslocamento angular de +30^\circ. Ou seja, se \mathbf{V}_a = V_{ph}\angle\theta_a (fase-neutro), então a tensão entre a e b é
    \mathbf{V}_{ab}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_a+30^\circ).
    Isso é uma identidade muito útil: a tensão de cada ramo do delta é a tensão linha-a-linha correspondende.
  • Aplicando isso com V_{ph}=120 V e as fases dadas:
    \mathbf{V}_{ab}=\sqrt{3}\cdot 120\angle(-30^\circ+30^\circ)=208\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},
\mathbf{V}_{bc}=\sqrt{3}\cdot 120\angle(-150^\circ+30^\circ)=208\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},
\mathbf{V}_{ca}=\sqrt{3}\cdot 120\angle(90^\circ+30^\circ)=208\angle 120^\circ\\ \mathrm{V}.
(Aqui usei diretamente a fórmula; essas tensões são as tensões aplicadas aos ramos do delta: ab,bc,ca.)

Passo 3

Calcular as correntes de fase do delta (correntes nos ramos ab, bc, ca):
  • Em cada ramo do delta a corrente de ramo é a tensão de ramo dividida pela impedância do ramo:
    \mathbf{I}_{ab}=\frac{\mathbf{V}_{ab}}{\mathbf{Z}}, \qquad \mathbf{I}_{bc}=\frac{\mathbf{V}_{bc}}{\mathbf{Z}}, \qquad \mathbf{I}_{ca}=\frac{\mathbf{V}_{ca}}{\mathbf{Z}}.
  • Substituindo valores ( |\mathbf{V}_{ab}|=208\\ \mathrm{V}, \mathbf{Z}=12\angle 30^\circ\\ \Omega):
    \mathbf{I}_{ab}=\frac{208\angle 0^\circ}{12\angle 30^\circ}=\frac{208}{12}\angle(-30^\circ)=17{,}333\angle -30^\circ\\ \mathrm{A},
\mathbf{I}_{bc}=\frac{208\angle -120^\circ}{12\angle 30^\circ}=17{,}333\angle -150^\circ\\ \mathrm{A},
\mathbf{I}_{ca}=\frac{208\angle 120^\circ}{12\angle 30^\circ}=17{,}333\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}.
Explicando de leve: dividi módulo por módulo 208/12 e subtrai o ângulo da impedância (ou seja \angle V - \angle Z ).

Passo 4

Converter \mathbf{I}_{ab},\mathbf{I}_{bc},\mathbf{I}_{ca} para forma retangular (para somas/subtrações fáceis) e calcular as correntes de linha.
  • Primeiro, componentes retangulares (uso \cos e \sin):
    Para \mathbf{I}_{ab}=17{,}333\angle -30^\circ:
    \mathbf{I}_{ab}=17{,}333(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ))=15 - j8{,}666\\ \mathrm{A}.
    Para \mathbf{I}_{bc}=17{,}333\angle -150^\circ:
    \mathbf{I}_{bc}=17{,}333(\cos(-150^\circ)+j\sin(-150^\circ))=-15 - j8{,}666\\ \mathrm{A}.
    Para \mathbf{I}_{ca}=17{,}333\angle 90^\circ:
    \mathbf{I}_{ca}=17{,}333(\cos 90^\circ + j\sin 90^\circ)=0 + j17{,}333\\ \mathrm{A}.
  • Relação entre correntes de ramo e correntes de linha (convenção de correntes entrando/saindo do nó de cada fase):
    A corrente de linha em a (da fonte para o ponto a) é a soma algébrica das correntes que entram/saem do nó a nos ramos do delta. Com a nossa definição de corrente nos ramos (por exemplo \mathbf{I}_{ab} é corrente do nó a para b), a corrente de linha é
    \mathbf{I}_a=\mathbf{I}_{ab}-\mathbf{I}_{ca}.
    Analogamente,
    \mathbf{I}_b=\mathbf{I}_{bc}-\mathbf{I}_{ab}, \qquad \mathbf{I}_c=\mathbf{I}_{ca}-\mathbf{I}_{bc}.
  • Calculemos \mathbf{I}_a:
    \mathbf{I}_a=(15 - j8{,}666)-(0 + j17{,}333)=15 - j25{,}999\\ \mathrm{A}.
    Convertendo para forma polar:
    |\mathbf{I}_a|=\sqrt{15^2+(-25{,}999)^2}\approx 30\\ \mathrm{A}, \qquad \angle \mathbf{I}_a=\tan^{-1}\!\left(\frac{-25{,}999}{15}\right)=-60^\circ.
    Portanto
    \mathbf{I}_a=30\angle -60^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Calculemos \mathbf{I}_b:
    \mathbf{I}_b=(-15 - j8{,}666)-(15 - j8{,}666)=-30 + j0\\ \mathrm{A}=30\angle 180^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Calculemos \mathbf{I}_c:
    \mathbf{I}_c=(0 + j17{,}333)-(-15 - j8{,}666)=15 + j26\\ \mathrm{A}.
    Convertendo:
    |\mathbf{I}_c|=\sqrt{15^2+26^2}\approx 30\\ \mathrm{A}, \qquad \angle \mathbf{I}_c=\tan^{-1}\!\left(\frac{26}{15}\right)=60^\circ.
    Assim
    \mathbf{I}_c=30\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}.
Observação didática: como a carga é equilibrada, as correntes de linha também ficam equilibradas em módulo ( 30 A) e defasadas de 120^\circ entre si (ângulos -60^\circ,\\\ 180^\circ,\\\ 60^\circ são separados por 120^\circ no sentido cíclico).

Passo 5

Calcular a potência dissipada (ativa) na carga — explicando o método:
  • Para cada ramo do delta (fase da carga) a potência complexa é
    \mathbf{S}_{\text{fase}}=\mathbf{V}_{\text{fase}}\mathbf{I}_{\text{fase}}^*,
    onde \mathbf{I}_{\text{fase}}=\dfrac{\mathbf{V}_{\text{fase}}}{\mathbf{Z}}. Como a carga é equilibrada, a potência total é três vezes a potência de uma fase:
    \mathbf{S}_{\text{total}}=3\,\mathbf{S}_{\text{fase}}=3\,\mathbf{V}_{\text{fase}}\mathbf{I}_{\text{fase}}^*.
  • Substituindo \mathbf{I}_{\text{fase}}=\dfrac{\mathbf{V}_{\text{fase}}}{\mathbf{Z}} obtemos
    \mathbf{S}_{\text{total}}=3\,\mathbf{V}_{\text{fase}}\left(\frac{\mathbf{V}_{\text{fase}}}{\mathbf{Z}}\right)^* =3\,\frac{|\mathbf{V}_{\text{fase}}|^2}{\mathbf{Z}^*}.
    Essa fórmula é prática: usa-se o módulo da tensão de fase ao quadrado e divide-se pela conjugada da impedância.
  • Agora os números: |\mathbf{V}_{\text{fase}}|=208\\ \mathrm{V} (tensão linha-a-linha aplicada a cada ramo do delta) e \mathbf{Z}^*=12\angle -30^\circ. Assim
    \mathbf{S}_{\text{total}}=3\cdot\frac{208^2}{12}\angle 30^\circ.
    Simplificando 3/12=1/4:
    \mathbf{S}_{\text{total}}=\frac{208^2}{4}\angle 30^\circ =10816\angle 30^\circ\\ \mathrm{VA}.
  • A potência ativa (dissipada) é a parte real de \mathbf{S}_{\text{total}}:
    P=\Re(\mathbf{S}_{\text{total}})=10816\cos 30^\circ.
    Calculando:
    P=10816\cdot 0{,}8660254\approx 9360\\ \mathrm{W}.
  • (Se quiser a potência reativa: Q=10816\sin 30^\circ=10816\cdot 0{,}5=5408\\ \mathrm{var}.)

Resposta

\mathbf{I}_a=30\angle -60^\circ\\ \mathrm{A}
\mathbf{I}_b=30\angle 180^\circ\\ \mathrm{A}
\mathbf{I}_c=30\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}
P=9360\\ \mathrm{W}

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