Suponha que a tensão de linha da fonte em Y seja 25 kV e que o sistema trifásico esteja ligado diretamente ao motor de uma locomotiva elétrica. O motor é uma carga ligada em Y com \mathbf{Z}=150 \angle 25^{\circ} \Omega. Determine as correntes de linha e a potência fornecida ao motor da locomotiva.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Dado: a tensão de linha da fonte (tensão entre duas fases) é \;25\\ \text{kV}.
  • Dado: o motor é uma carga ligada em Y (estrela), e a impedância por fase é \;\mathbf{Z}=150\angle 25^\circ\\ \Omega.
  • Pergunta 1: determinar as correntes de linha.
  • Pergunta 2: determinar a potência fornecida ao motor (potência trifásica fornecida pela fonte).
Essas são todas as informações relevantes. A partir daqui vamos calcular passo a passo a tensão de fase, a corrente de fase (igual à corrente de linha numa ligação Y equilibrada) e a potência trifásica (ativa, reativa e aparente).

Passo 2

Relação entre tensões de linha e de fase numa ligação Y equilibrada e cálculo da tensão de fase:
  • Numa ligação Y equilibrada, a tensão de fase (tensão entre fase e neutro) tem magnitude igual à tensão de linha dividida por \sqrt{3} e, escolhendo a referência usual onde a tensão de linha \;V_{ab} tem ângulo 0^\circ, a tensão de fase \;V_{an} tem ângulo -30^\circ. Ou seja:
V_{ph} = V_{an} = \frac{V_{L}}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ.
  • Aqui \;V_L=25\\ \text{kV}=25\,000\\ \text{V}. Então a magnitude da tensão de fase é
|V_{ph}|=\frac{25\,000}{\sqrt{3}}=\frac{25\,000}{1{,}73205\ldots}\approx 14\,433{,}7567\\ \text{V}.
Para manter as contas limpas vou usar o valor exato em termos de fração quando possível, mas numericamente:
V_{ph}=14\,433{,}7567\angle -30^\circ\\ \text{V}.

Passo 3

Cálculo da corrente de fase (que é igual à corrente de linha numa ligação Y equilibrada):
  • Fórmula básica: a corrente de fase é a tensão de fase dividida pela impedância de fase:
I_{ph}=\frac{V_{ph}}{Z}.
Aqui \;Z=150\angle 25^\circ\\ \Omega e \;V_{ph}=14\,433{,}7567\angle -30^\circ\\ \text{V}. Então
I_{ph}=\frac{14\,433{,}7567\angle -30^\circ}{150\angle 25^\circ} =\frac{14\,433{,}7567}{150}\angle(-30^\circ-25^\circ).
  • Calculemos magnitude e ângulo:
|I_{ph}|=\frac{14\,433{,}7567}{150}\approx 96{,}225\\ \text{A},
\angle I_{ph}=-55^\circ.
Portanto, em forma fasorial:
I_{ph}=96{,}225\angle -55^\circ\\ \text{A}.
  • Se você preferir a forma retangular (útil para algumas contas):
I_{ph}=96{,}225\big(\cos(-55^\circ)+j\sin(-55^\circ)\big)\approx 55{,}19 - j78{,}81\\ \text{A}.

Passo 4

Observação de ligação Y equilibrada:
  • Em carga Y equilibrada a corrente de linha é igual à corrente de fase:
I_{L}=I_{ph}.
Portanto a corrente de linha que procurávamos é a do passo anterior. (Não vou repetir aqui a resposta final compacta; ela ficará organizada na seção de resposta ao final.)

Passo 5

Cálculo da potência trifásica fornecida (ativa, reativa e aparente):
  • Fórmula do fator de potência e da potência complexa numa fase: a potência complexa de uma fase é
S_{ph}=V_{ph}\,I_{ph}^*,
onde ^* indica conjugado complexo. A potência trifásica total é
S_{tot}=3\,S_{ph}=3\,V_{ph}\,I_{ph}^*.
  • Uma forma conveniente de calcular é usar |V_{ph}|^2 e a conjugada de Z:
S_{ph}=\frac{|V_{ph}|^2}{Z^*}, \quad\text{logo}\quad S_{tot}=3\frac{|V_{ph}|^2}{Z^*}.
Mas notemos uma simplificação importante: |V_{ph}|^2 = V_L^2/3, então
S_{tot}=3\frac{V_L^2/3}{Z^*}=\frac{V_L^2}{Z^*}.
Isto é prático: a magnitude de S_{tot} é |S_{tot}|=\dfrac{V_L^2}{|Z|} e o ângulo de S_{tot} é -\angle Z^*=\angle Z (porque divisão por Z^* introduz o ângulo oposto, resultando no ângulo de +25^\circ).
  • Cálculo numérico:
|S_{tot}|=\frac{25\,000^2}{150}=\frac{625\,000\,000}{150}=4\,166\,666{,}6667\\ \text{VA}.
O ângulo é +25^\circ, logo em forma fasorial:
S_{tot}=4\,166\,666{,}6667\angle 25^\circ\\ \text{VA}.
  • Agora obtenha potência ativa ( P) e reativa ( Q) como partes real e imaginária:
P=\;|S_{tot}|\cos 25^\circ,\qquad Q=\;|S_{tot}|\sin 25^\circ.
Usando \cos 25^\circ\approx 0{,}906307787 e \sin 25^\circ\approx 0{,}422618262,
P\approx 4\,166\,666{,}6667\times 0{,}906307787\approx 3\,776\,282{,}447\\ \text{W},
Q\approx 4\,166\,666{,}6667\times 0{,}422618262\approx 1\,760\,909{,}424\\ \text{var}.
Assim a potência aparente total é aproximadamente 4{,}166\times 10^{6}\\ \text{VA}, a ativa 3{,}776\times 10^{6}\\ \text{W} e a reativa 1{,}761\times 10^{6}\\ \text{var}. (O sinal positivo de Q indica carga indutiva, coerente com \angle Z=+25^\circ.)

Resposta

I_{L}=96{,}225\angle -55^\circ\\ \text{A} \;=\;55{,}19 - j78{,}81\\ \text{A}\n
S_{tot}=4\,166\,666{,}6667\angle 25^\circ\\ \text{VA}\n
P_{tot}=3\,776\,282{,}447\\ \text{W}\n
Q_{tot}=1\,760\,909{,}424\\ \text{var}

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