P 12.3-1 Considere um circuito \mathbf{Y}-\mathbf{Y} de três fios. As tensões da fonte em Y são \mathbf{V}_{\mathrm{a}}=(208 / \sqrt{3}) \angle 0^{\circ} \mathrm{V} rms, \mathbf{V}_{\mathrm{b}}=(208 / \sqrt{3}) \angle-120^{\circ} V rms e \mathbf{V}_{\mathrm{c}}=(208 / \sqrt{3}) / 120^{\circ} \mathrm{V} rms. A carga ligada em Y é equilibrada. A impedância de cada fase é \mathbf{Z}=12 / 30^{\circ} \Omega.
(a) Determine as tensões de fase
(b) Determine as correntes de linha e as correntes de fase

Passo 1

O enunciado dá as tensões de fase da fonte em ligação Y:
\mathbf{V}_{\mathrm{a}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ\\ \mathrm{V\\ rms},\qquad \mathbf{V}_{\mathrm{b}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle -120^\circ\\ \mathrm{V\\ rms},\qquad \mathbf{V}_{\mathrm{c}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle 120^\circ\\ \mathrm{V\\ rms},
e a carga é equilibrada em Y com impedância de cada fase
\mathbf{Z}=12\angle 30^\circ\\ \Omega.
As perguntas são:
(a) determinar as tensões de fase (isto é, as tensões V_{an},V_{bn},V_{cn} aplicadas a cada impedância de fase da carga);
(b) determinar as correntes de linha e as correntes de fase.

Passo 2

Entendendo o que dá para usar sem complicação: numa ligação em Y equilibrada, a tensão de fase aplicada a cada impedância de carga (a tensão de linha-para-neutro no secundário) é igual à tensão de fase da fonte (se não há deslocamento de neutro). Logo as tensões de fase da carga são as mesmas que foram fornecidas pelo enunciado: \mathbf{V}_{\mathrm{a}},\mathbf{V}_{\mathrm{b}},\mathbf{V}_{\mathrm{c}}.
Antes de usar numericamente, vamos simplificar a magnitude:
\frac{208}{\sqrt{3}}\approx 120\\ \text{V}
(esta é a aproximação usual porque 208 é praticamente igual a 120\sqrt{3}). Assim, em forma prática e usual, as tensões de fase são 120 V com os ângulos dados.

Passo 3

Resumo da ideia para as correntes de fase: a corrente de cada fase é obtida por divisão fasorial da tensão de fase pela impedância da fase. A regra de divisões de fasores é simples:
  • a magnitude da corrente é a razão entre as magnitudes,
  • o ângulo da corrente é o ângulo da tensão menos o ângulo da impedância.
    Em fórmula:
\mathbf{I}_{\text{fase}}=\frac{\mathbf{V}_{\text{fase}}}{\mathbf{Z}}.
Aqui, para cada fase:
\mathbf{I}_k=\frac{\mathbf{V}_k}{\mathbf{Z}},\qquad k=a,b,c.

Passo 4

Calcular a magnitude da corrente (usando a aproximação \frac{208}{\sqrt{3}}\approx 120 V):
|\mathbf{I}|=\frac{|\mathbf{V}_{\text{fase}}|}{|\mathbf{Z}|}=\frac{120}{12}=10\\ \text{A}.
Calcular os ângulos: como \angle \mathbf{Z}=30^\circ, subtrai-se 30^\circ do ângulo de cada tensão de fase:
\angle \mathbf{I}_a = 0^\circ - 30^\circ = -30^\circ,
\angle \mathbf{I}_b = -120^\circ - 30^\circ = -150^\circ,
\angle \mathbf{I}_c = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ.
Portanto as correntes de fase são:
\mathbf{I}_a=10\angle -30^\circ\\ \mathrm{A},\qquad \mathbf{I}_b=10\angle -150^\circ\\ \mathrm{A},\qquad \mathbf{I}_c=10\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Na ligação Y cada corrente de fase circula pela respectiva linha (isto é, em Y a corrente de linha é igual à corrente de fase). Logo as correntes de linha são exatamente as correntes obtidas no Passo 4:
\mathbf{I}_{\text{linha},a}=\mathbf{I}_a,\qquad \mathbf{I}_{\text{linha},b}=\mathbf{I}_b,\qquad \mathbf{I}_{\text{linha},c}=\mathbf{I}_c.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas boa para prova): em sistema equilibrado trifásico as três correntes fasoriais somam zero:
\mathbf{I}_a+\mathbf{I}_b+\mathbf{I}_c=0,
o que confirma consistência do resultado (pode-se checar convertendo para rectangular e somando as componentes reais e imaginárias).

Resposta

(a) \mathbf{V}_a=120\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},\\ \mathbf{V}_b=120\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},\\ \mathbf{V}_c=120\angle 120^\circ\\ \mathrm{V}
(b) Correntes de fase (e de linha, pois em Y são iguais): \mathbf{I}_a=10\angle -30^\circ\\ \mathrm{A},\\ \mathbf{I}_b=10\angle -150^\circ\\ \mathrm{A},\\ \mathbf{I}_c=10\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}

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