P 12.2-3 Uma das tensões de linha de um sistema trifásico equilibrado é
V_{a b}=1500 \angle 30^{\circ} \mathrm{V} \mathrm{rms}
e a carga está ligada em Y . Determine a tensão de fase V_{\mathrm{a}}.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a tensão de linha
V_{a b}=1500\angle 30^\circ\\ \mathrm{V_{rms}}
e a carga está ligada em Y (estrela). A pergunta é: determinar a tensão de fase V_{a} (ou seja, a tensão do ponto a em relação ao neutro). Informação relevante listada:
  • Valor dado: V_{a b}=1500\angle 30^\circ\\ \mathrm{V_{rms}}.
  • Conexão da carga: Y (estrela), e o sistema está equilibrado (implícito pelo enunciado).
  • O que se pede: V_{a}.

Passo 2

Vamos estabelecer a relação entre tensões de linha e tensões de fase em um sistema trifásico equilibrado. Por definição de tensões de linha,
V_{a b}=V_{a}-V_{b}.
Em um sistema equilibrado com sequência de fases padrão (abc), as tensões de fase têm o mesmo módulo e deslocamentos de fase de 120^\circ. Se escrevermos a tensão de fase como
V_{a}=V_{p}\angle \theta,
então
V_{b}=V_{p}\angle(\theta-120^\circ).
Aqui V_{p} é o módulo da tensão de fase (o que queremos encontrar, pois V_a=V_p\angle\theta) e \theta é a sua fase angular.

Passo 3

Substituindo V_{a} e V_{b} em V_{a b}=V_{a}-V_{b},
V_{a b}=V_{p}\angle \theta - V_{p}\angle(\theta-120^\circ)=V_{p}\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr)\angle \theta.
Agora calculamos o fator complexo 1-e^{-j120^\circ}. Primeiro,
e^{-j120^\circ}=\cos(120^\circ)-j\sin(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
1-e^{-j120^\circ}=1-\Bigl(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
O módulo e o ângulo desse número são
\left|\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=\sqrt{\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2}=\sqrt{3},
\angle\!\Bigl(\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=\arctan\!\Bigl(\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\Bigr)=\arctan\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)=30^\circ.
Portanto
1-e^{-j120^\circ}=\sqrt{3}\angle 30^\circ.

Passo 4

Voltando à relação entre V_{ab} e V_p,
V_{a b}=V_{p}\,\sqrt{3}\angle 30^\circ\angle \theta = V_{p}\sqrt{3}\angle(\theta+30^\circ).
Isto significa que, em termos de módulo e fase,
|V_{a b}|=|V_{p}|\sqrt{3},\qquad \angle V_{a b}=\angle V_{p}+30^\circ.
Isolando V_{p} (ou seja V_{a}):
V_{a}=V_{p}\angle\theta=\frac{V_{a b}}{\sqrt{3}\angle 30^\circ}.

Passo 5

Aplicando o valor numérico dado (V_{a b}=1500\angle 30^\circ\\ \mathrm{V_{rms}}):
V_{a}=\frac{1500\angle 30^\circ}{\sqrt{3}\angle 30^\circ}=\frac{1500}{\sqrt{3}}\angle(30^\circ-30^\circ).
Calcule o módulo:
\frac{1500}{\sqrt{3}}=500\sqrt{3}\approx 866{,}025\\ \mathrm{V}.
E o ângulo:
30^\circ-30^\circ=0^\circ.
Portanto
V_{a}=500\sqrt{3}\angle 0^\circ\\ \mathrm{V_{rms}} \approx 866{,}025\angle 0^\circ\\ \mathrm{V_{rms}}.

Passo 6

Checagem rápida (para me deixar mais confiante e a você também): se V_{a}=500\sqrt{3}\angle 0^\circ e V_{b}=500\sqrt{3}\angle -120^\circ, então
V_{a}-V_{b}=500\sqrt{3}\bigl(1-e^{-j120^\circ}\bigr)=500\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\angle 30^\circ=1500\angle 30^\circ,
que coincide com o dado, portanto está correto. Força — já era!

Resposta

V_{a}=500\sqrt{3}\angle 0^\circ\\ \mathrm{V_{rms}}

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