Exercício 5: Determine
cujas transformadas de Fourier são dadas por
, sendo
uma constante.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Fourier
onde
é uma constante, e pede para determinar a função no domínio do tempo
cuja transformada é essa.
Informações relevantes: está completamente especificada como uma função distribuída (impulso de Dirac deslocado) e precisamos encontrar
para todo
.
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da transformada inversa de Fourier (convenção usada aqui). A transformada inversa relaciona
e
por
Expliquei cada símbolo:
-
é o sinal no domínio do tempo que queremos achar (função de ). -
é a transformada de Fourier no domínio da frequência (função de ). -
é o núcleo da transformada inversa (a combinação de senos e cossenos em forma complexa). -
indica integração sobre toda a frequência . -
é o fator de normalização dessa convenção de transformada (é por isso que aparece em pares conhecidos).
Passo 3
Precisamos usar a propriedade de amostragem (sifting) do delta de Dirac: para qualquer função razoável
,
Intuição rápida: o delta “pega” o valor de
exatamente em
. Isso vale mesmo quando
é
, já que essa função é contínua.
Passo 4
Agora aplicamos a transformada inversa à
dada. Substituindo em
obtemos:
Podemos tirar o
constante para fora da integral e ele cancela com o fator
:
Aplicando a propriedade do delta (Passo 3) com
e
, obtemos
Isso vale para todo
.
Passo 5
Interpretação e observações úteis na prova:
- O resultado é um exponencial complexo de frequência angular
. Em sinais, representa uma oscilação (cosseno + j seno) com frequência . - Se você precisa de um sinal real correspondente, tome a parte real:
. Note que a transformada de não é isolado, mas sim . Isso é um bom lembrete para provas: delta deslocado isolado corresponde a exponencial complexa unilateral no tempo. - Exemplos rápidos:
- Confirmação de unicidade: dada a convenção de transformada usada, a transformada inversa é única, então
é a resposta correta e única.