Exercício 5: Determine x(t) cujas transformadas de Fourier são dadas por
X(j \omega)=2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}\right), sendo \omega_{0} uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Fourier
X(j\omega)=2\pi\,\delta\bigl(\omega-\omega_{0}\bigr),
onde \omega_{0} é uma constante, e pede para determinar a função no domínio do tempo x(t) cuja transformada é essa.
Informações relevantes: \;X(j\omega) está completamente especificada como uma função distribuída (impulso de Dirac deslocado) e precisamos encontrar x(t) para todo t.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da transformada inversa de Fourier (convenção usada aqui). A transformada inversa relaciona X(j\omega) e x(t) por
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Expliquei cada símbolo:
  • \;x(t) é o sinal no domínio do tempo que queremos achar (função de t).
  • \;X(j\omega) é a transformada de Fourier no domínio da frequência (função de \omega).
  • \;e^{j\omega t} é o núcleo da transformada inversa (a combinação de senos e cossenos em forma complexa).
  • \;d\omega indica integração sobre toda a frequência \omega.
  • \;1/(2\pi) é o fator de normalização dessa convenção de transformada (é por isso que aparece 2\pi em pares conhecidos).

Passo 3

Precisamos usar a propriedade de amostragem (sifting) do delta de Dirac: para qualquer função razoável f(\omega),
\int_{-\infty}^{\infty} f(\omega)\,\delta(\omega-a)\,d\omega = f(a).
Intuição rápida: o delta “pega” o valor de f exatamente em \omega=a. Isso vale mesmo quando f é e^{j\omega t}, já que essa função é contínua.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa à X(j\omega) dada. Substituindo em \;x(t)=\frac{1}{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega obtemos:
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} 2\pi\,\delta(\omega-\omega_{0})\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Podemos tirar o 2\pi constante para fora da integral e ele cancela com o fator 1/(2\pi):
x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\omega-\omega_{0})\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Aplicando a propriedade do delta (Passo 3) com f(\omega)=e^{j\omega t} e a=\omega_{0}, obtemos
x(t)=e^{j\omega_{0} t}.
Isso vale para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação e observações úteis na prova:
  • O resultado é um exponencial complexo de frequência angular \omega_{0}. Em sinais, \;e^{j\omega_{0}t} representa uma oscilação (cosseno + j seno) com frequência \omega_{0}.
  • Se você precisa de um sinal real correspondente, tome a parte real: \Re\{e^{j\omega_{0}t}\}=\cos(\omega_{0}t). Note que a transformada de \cos(\omega_{0}t) não é 2\pi\delta(\omega-\omega_0) isolado, mas sim \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]. Isso é um bom lembrete para provas: delta deslocado isolado corresponde a exponencial complexa unilateral no tempo.
  • Exemplos rápidos: \text{Se }X(j\omega)=2\pi\,\delta(\omega+\omega_{0})\quad\Rightarrow\quad x(t)=e^{-j\omega_{0}t}.
\text{Se }X(j\omega)=\pi\bigl[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})\bigr]\quad\Rightarrow\quad x(t)=\cos(\omega_{0}t).
  • Confirmação de unicidade: dada a convenção de transformada usada, a transformada inversa é única, então x(t)=e^{j\omega_{0}t} é a resposta correta e única.

Resposta

x(t)=e^{j\omega_{0}t}

Exercícios relacionados