A corrente que circula por um resistor de
um circuito
paralelo sem fonte é determinada por
. Determine (
) a corrente máxima e o momento em que ela ocorre; (b) o tempo de acomodação; (c) o tempo
correspondente ao resistor dissipando
de potência.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Corrente no resistor:
, válida para . (O enunciado colocou “V” mas isso é incoerente; interpreto em ampères.) - Resistência:
.
Perguntas:
(a) Determinar a corrente máxima e o instante
em que ela ocorre.
(b) Determinar o tempo de acomodação (settling time).
(c) Determinar os instantes em que o resistor dissipa
de potência.
(a) Determinar a corrente máxima
(b) Determinar o tempo de acomodação (settling time).
(c) Determinar os instantes
Passo 2
Como achar a corrente máxima — estratégia e fórmulas usadas.
- Para achar máximos/mínimos de uma função de tempo
a técnica padrão é calcular a derivada , igualá-la a zero para achar pontos críticos e usar a segunda derivada para verificar se é máximo ou mínimo. - Relembrando derivadas de exponenciais: se
então . Aqui temos exponenciais decrescentes .
Aplicando isso:
Derivando:
Agora igualamos a zero para achar pontos críticos:
Isolando:
Dividindo ambos os lados por
(sempre positivo),
Tomando logaritmo natural:
Vamos simplificar a expressão de
nesse instante. Observe que da relação
obtemos
. Substituindo em
:
Como
, temos a forma exata
Verificação de que é máximo (segunda derivada). Derivando
:
Usando
no ponto crítico:
portanto é mesmo um máximo. Agora valores numéricos (aproximações):
, então
E
Passo 3
Tempo de acomodação (conceito e cálculo).
- Definição prática: o tempo de acomodação
costuma ser o menor tempo após o qual a resposta permanece dentro de uma faixa tolerada em relação ao valor final. Para respostas que decaem a valor final zero, uma regra prática é usar tolerâncias de ou . - Para sistemas com soma de exponenciais o termo dominante é o que decai mais devagar (maior constante de tempo). Aqui temos os termos
e . As constantes de tempo são (para ) e (para ). O termo dominante é o de (decai mais devagar).
Regras empíricas (para um decaimento exponencial
):
- Para
de tolerância usa-se aproximadamente porque . - Para
usa-se porque .
Aplicando
:
Como alternativa comum,
(Sugestão: se a prova indicar a tolerância, use a correspondente; se não, muitos autores adotam
— aqui dei os dois valores e expliquei o motivo.)
Passo 4
Potência dissipada no resistor e equação a resolver.
- Fórmula da potência em um resistor em função da corrente:
- Queremos
com . Então
Logo precisamos dos instantes em que
Portanto temos que resolver
Para resolver numericamente é conveniente a substituição
(então
e
). A equação fica
Isso é um polinômio de grau 8 em
— não há solução algébrica simples, usamos método numérico (busca por intervalos e interpolação linear) e interpretamos o comportamento de
para saber quantas soluções esperar.
Comportamento de
:
-
(negativa em ), depois a corrente cresce, cruza zero, atinge um pico positivo e decai para zero. Assim há três instantes em que : um quando sobe de para (pequeno ), outro quando sobe e atinge antes do pico, e um último quando, após o pico, decai e cruza novamente.
Agora resolvemos numericamente as três equações (apresento o processo de busca e interpolação usado para cada raiz, com arredondamento final razoável).
- Instante em que
.
- Em
: . Em : calculei . Então a raiz está entre e . - Fazendo iterações/interpolações rápidas (avaliando
em pontos intermediários) obtive a aproximação
- Primeiro instante em que
(ramo crescente antes do pico).
- Em
: (menor que ). Em : (maior). Portanto a raiz está entre e . Refinando com avaliações em e interpolando, obtive
- Segundo instante em que
(ramo decrescente após o pico).
- Em
: . Em : . Assim a raiz está entre e . Refinando com avaliações em e interpolação, obtive
(Procedimento numérico: avaliei
em pontos para achar intervalos que contêm cada raiz e refinei via interpolação linear simples até precisão prática para prova. Se for necessário maior precisão, aplicar Newton ou método da bisseção.)
Resposta
(a)
em
(b) Tempo de acomodação: (critério
); (alternativamente
para
).
(c) Instantes em que :
(b) Tempo de acomodação:
(c) Instantes em que