A corrente que circula por um resistor de 5 \Omega \mathrm{em} um circuito R L C paralelo sem fonte é determinada por i_{R}(t)=2 e^{-t}-3 e^{-8 t} \mathrm{~V}, t>0. Determine ( a ) a corrente máxima e o momento em que ela ocorre; (b) o tempo de acomodação; (c) o tempo t correspondente ao resistor dissipando 2,5 \mathrm{~W} de potência.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Corrente no resistor: i_{R}(t)=2e^{-t}-3e^{-8t}, válida para t>0. (O enunciado colocou “V” mas isso é incoerente; interpreto i_R em ampères.)
  • Resistência: R=5\\ \Omega.
Perguntas:
(a) Determinar a corrente máxima \,i_{\max}\, e o instante t em que ela ocorre.
(b) Determinar o tempo de acomodação (settling time).
(c) Determinar os instantes t em que o resistor dissipa 2{,}5\\ \mathrm{W} de potência.

Passo 2

Como achar a corrente máxima — estratégia e fórmulas usadas.
  • Para achar máximos/mínimos de uma função de tempo i(t) a técnica padrão é calcular a derivada \dfrac{di}{dt}, igualá-la a zero para achar pontos críticos e usar a segunda derivada para verificar se é máximo ou mínimo.
  • Relembrando derivadas de exponenciais: se f(t)=Ae^{\alpha t} então f'(t)=\alpha Ae^{\alpha t}. Aqui temos exponenciais decrescentes (\alpha<0).
Aplicando isso:
i(t)=2e^{-t}-3e^{-8t}.
Derivando:
\frac{di}{dt}=-2e^{-t}+24e^{-8t}.
Agora igualamos a zero para achar pontos críticos:
-2e^{-t}+24e^{-8t}=0.
Isolando:
24e^{-8t}=2e^{-t}\quad\Rightarrow\quad 12e^{-8t}=e^{-t}.
Dividindo ambos os lados por e^{-t} (sempre positivo),
12e^{-7t}=1\quad\Rightarrow\quad e^{-7t}=\frac{1}{12}.
Tomando logaritmo natural:
-7t=\ln\!\left(\frac{1}{12}\right)=-\ln 12 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 12}{7}.
Vamos simplificar a expressão de i nesse instante. Observe que da relação e^{-7t}=1/12 obtemos e^{-8t}=e^{-t}e^{-7t}=e^{-t}\cdot\frac{1}{12}. Substituindo em i(t):
i(t)=2e^{-t}-3e^{-8t}=2e^{-t}-3\frac{e^{-t}}{12}=\left(2-\frac{3}{12}\right)e^{-t}=\frac{7}{4}e^{-t}.
Como e^{-t}=(e^{-7t})^{1/7}=(1/12)^{1/7}, temos a forma exata
i_{\max}=\frac{7}{4}\left(\frac{1}{12}\right)^{1/7}.
Verificação de que é máximo (segunda derivada). Derivando \dfrac{di}{dt}:
\frac{d^2i}{dt^2}=2e^{-t}-192e^{-8t}.
Usando e^{-8t}=e^{-t}/12 no ponto crítico:
\frac{d^2i}{dt^2}=2e^{-t}-192\frac{e^{-t}}{12}=2e^{-t}-16e^{-t}=-14e^{-t}<0,
portanto é mesmo um máximo. Agora valores numéricos (aproximações): \ln 12\approx 2{,}484907, então
t_{\max}=\frac{\ln 12}{7}\approx 0{,}355\\ \mathrm{s}.
E
i_{\max}\approx \frac{7}{4}\,(1/12)^{1/7}\approx 1{,}228\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Tempo de acomodação (conceito e cálculo).
  • Definição prática: o tempo de acomodação T_s costuma ser o menor tempo após o qual a resposta permanece dentro de uma faixa tolerada em relação ao valor final. Para respostas que decaem a valor final zero, uma regra prática é usar tolerâncias de 2\% ou 5\%.
  • Para sistemas com soma de exponenciais o termo dominante é o que decai mais devagar (maior constante de tempo). Aqui temos os termos e^{-t} e e^{-8t}. As constantes de tempo são \tau_1=1 (para e^{-t}) e \tau_2=\tfrac{1}{8} (para e^{-8t}). O termo dominante é o de \tau=1 (decai mais devagar).
Regras empíricas (para um decaimento exponencial e^{-t/\tau}):
  • Para 2\% de tolerância usa-se aproximadamente T_s\approx 4\tau porque e^{-4}\approx 0{,}0183\approx 1{,}83\%.
  • Para 5\% usa-se T_s\approx 3\tau porque e^{-3}\approx 0{,}0498\approx 4{,}98\%.
Aplicando \tau=1:
T_s\\ (\text{2\%})\approx 4\cdot 1 = 4\\ \mathrm{s}.
Como alternativa comum,
T_s\\ (\text{5\%})\approx 3\cdot 1 = 3\\ \mathrm{s}.
(Sugestão: se a prova indicar a tolerância, use a correspondente; se não, muitos autores adotam 2\% — aqui dei os dois valores e expliquei o motivo.)

Passo 4

Potência dissipada no resistor e equação a resolver.
  • Fórmula da potência em um resistor em função da corrente:
P(t)=i^2(t)\,R.
  • Queremos P(t)=2{,}5\\ \mathrm{W} com R=5\\ \Omega. Então
i^2(t)\cdot 5 = 2{,}5 \quad\Rightarrow\quad i^2(t)=\frac{2{,}5}{5}=0{,}5.
Logo precisamos dos instantes em que
|i(t)|=\sqrt{0{,}5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}7071\\ \mathrm{A}.
Portanto temos que resolver
2e^{-t}-3e^{-8t}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.
Para resolver numericamente é conveniente a substituição x=e^{-t} (então 0<x<1 e e^{-8t}=x^8). A equação fica
2x-3x^8=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Isso é um polinômio de grau 8 em x — não há solução algébrica simples, usamos método numérico (busca por intervalos e interpolação linear) e interpretamos o comportamento de i(t) para saber quantas soluções esperar.
Comportamento de i(t):
  • i(0)=2-3=-1\\ \mathrm{A} (negativa em t=0), depois a corrente cresce, cruza zero, atinge um pico positivo e decai para zero. Assim há três instantes em que |i(t)|=0{,}7071: um quando i sobe de -1 para -0{,}7071 (pequeno t), outro quando i sobe e atinge +0{,}7071 antes do pico, e um último quando, após o pico, i decai e cruza +0{,}7071 novamente.
Agora resolvemos numericamente as três equações (apresento o processo de busca e interpolação usado para cada raiz, com arredondamento final razoável).
  1. Instante em que i(t)=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Em t=0: i=-1< -0{,}7071. Em t=0{,}02: calculei i(0{,}02)\approx -0{,}5960> -0{,}7071. Então a raiz está entre 0 e 0{,}02.
  • Fazendo iterações/interpolações rápidas (avaliando i em pontos intermediários) obtive a aproximação
t_1\approx 0{,}01415\\ \mathrm{s}.
  1. Primeiro instante em que i(t)=+\tfrac{1}{\sqrt{2}} (ramo crescente antes do pico).
  • Em t=0{,}1: i\approx 0{,}462 (menor que 0{,}7071). Em t=0{,}2: i\approx 1{,}032 (maior). Portanto a raiz está entre 0{,}1 e 0{,}2. Refinando com avaliações em t=0{,}12,0{,}13,0{,}135 e interpolando, obtive
t_2\approx 0{,}1315\\ \mathrm{s}.
  1. Segundo instante em que i(t)=+\tfrac{1}{\sqrt{2}} (ramo decrescente após o pico).
  • Em t=1: i\approx 0{,}7348>0{,}7071. Em t=1{,}2: i\approx 0{,}6018<0{,}7071. Assim a raiz está entre 1{,}0 e 1{,}2. Refinando com avaliações em t=1{,}02,1{,}035,1{,}0425 e interpolação, obtive
t_3\approx 1{,}038\\ \mathrm{s}.
(Procedimento numérico: avaliei i(t) em pontos para achar intervalos que contêm cada raiz e refinei via interpolação linear simples até precisão prática para prova. Se for necessário maior precisão, aplicar Newton ou método da bisseção.)

Resposta

(a) i_{\max}\approx 1{,}228\\ \mathrm{A} em t=\dfrac{\ln 12}{7}\approx 0{,}355\\ \mathrm{s}.
(b) Tempo de acomodação: T_s\approx 4\\ \mathrm{s} (critério 2\%); (alternativamente T_s\approx 3\\ \mathrm{s} para 5\%).
(c) Instantes em que P=2{,}5\\ \mathrm{W}: t\approx 0{,}01415\\ \mathrm{s},\;0{,}1315\\ \mathrm{s},\;1{,}038\\ \mathrm{s}.

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