12-Um cubo pequeno de chumbo contém 4 átomos de Pb . O volume da cela unitária do cubo é 1,206 \mathrm{x} 10^{-22} \mathrm{~cm}^{3}. Calcule a densidade do Pb . ( \mathrm{R}: 11,4 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a densidade do chumbo:
  • Número de átomos por cela unitária: n=4.
  • Volume da cela unitária: V_{\text{cela}}=1,206\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^3}.
  • Massa molar do chumbo (valor padrão a usar): M_{\text{Pb}}=207,2\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Constante de Avogadro: N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
    O que se pede: calcular a densidade \rho do Pb (em \mathrm{g/cm^3}).

Passo 2

Conceito-chave: densidade é massa por volume. Para a cela unitária, a densidade é
\rho=\frac{m_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}},
onde m_{\text{cela}} é a massa dos n átomos que estão dentro de uma cela unitária e V_{\text{cela}} é o volume dado. Aqui todas as grandezas estarão em unidades compatíveis (gramas e centímetros cúbicos) para obter \rho em \mathrm{g/cm^3}.

Passo 3

Como obter m_{\text{cela}}: a massa de uma cela é o número de átomos multiplicado pela massa de um átomo. A massa de um átomo de Pb (em gramas) vem da massa molar dividida por N_A:
m_{\text{átomo}}=\frac{M_{\text{Pb}}}{N_A}.á
Portanto
m_{\text{cela}}=n\cdot m_{\text{átomo}}=n\cdot\frac{M_{\text{Pb}}}{N_A}.á
Explicando cada símbolo:
  • n é o número de átomos por cela (aqui 4).
  • M_{\text{Pb}} é a massa molar do Pb em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • N_A é o número de Avogadro em \mathrm{mol^{-1}}.
  • m_{\text{átomo}}á fica em gramas, logo m_{\text{cela}} também ficará em gramas.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos passo a passo.
Primeiro a massa de um átomo de Pb:
m_{\text{átomo}}=\frac{M_{\text{Pb}}}{N_A}=\frac{207,2}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.á
Vamos calcular esse quociente. Pode-se proceder assim: 207,2/6,022\approx34,403, e considerando o fator 10^{23} no denominador:
m_{\text{átomo}}\approx 3,440\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.á
Agora a massa da cela unitária (com n=4):
m_{\text{cela}}=4\cdot m_{\text{átomo}}\approx 4\cdot\left(3,440\times10^{-22}\right)\\ \mathrm{g}=1,376\times10^{-21}\\ \mathrm{g}.á

Passo 5

Agora a densidade:
\rho=\frac{m_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}}=\frac{1,376\times10^{-21}\\ \mathrm{g}}{1,206\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^3}}.
Fazendo a divisão (colocando potências de dez em evidência):
\rho\approx\frac{1,376}{1,206}\times10^{-21-(-22)}\\ \mathrm{g/cm^3}=\frac{1,376}{1,206}\times10^{1}\\ \mathrm{g/cm^3}.
Calculando a razão \dfrac{1,376}{1,206}\approx1,140, logo
\rho\approx 1,140\times10^{1}\\ \mathrm{g/cm^3}=11,40\\ \mathrm{g/cm^3}.
Arredondando de forma prática para duas casas significativas compatíveis com os dados:
\rho\approx11,4\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 6

Resumo rápido: a estratégia foi transformar massa molar em massa por átomo usando Avogadro, multiplicar pelo número de átomos por cela para achar a massa da cela e depois dividir pelo volume da cela. O resultado coincide com o valor esperado dado na resposta.

Resposta

\,11,4\\ \mathrm{g/cm^3}

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