10-Cobre metálico tem uma estrutura c f c, com densidade de 8,96 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcule: a) o volume da cela unitária; b) o raio do átomo de cobre. (R: a) 4,71 \times 10^{-23} \mathrm{~cm}^{3}; b) 128 pm )

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Estrutura cristalina: cfc (cúbica de faces centradas).
    • Densidade do cobre: \rho = 8,96\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Dados que usarei (valores padrão necessários):
    • Massa molar do cobre: M = 63,546\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
    • Número de Avogadro: N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) o volume da cela unitária;
    • (b) o raio atômico do cobre (em pm).
Observações úteis que já podemos anotar (sem resolver ainda):
  • Em uma estrutura cfc há n=4 átomos por cela unitária (explicação: 8 vértices que contribuem com 1/8 cada = 1 átomo, mais 6 faces que contribuem com 1/2 cada = 3 átomos; total 1+3=4).
  • Relação que usarei para massa da cela unitária: massa da cela = n\cdot M/N_A.
  • Relação densidade- Volume da cela: \rho = \dfrac{\text{massa da cela}}{V_{\text{cela}}}, portanto V_{\text{cela}}=\dfrac{\text{massa da cela}}{\rho}.
  • Relação geométrica entre parâmetro de rede a e raio atômico r em cfc: a diagonal da face vale \sqrt{2}\,a e equivale a 4r; logo \sqrt{2}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{2}}{4}\,a.

Passo 2

Calcular a massa de uma cela unitária.
  • Fórmula usada e significado das variáveis:
    m_{\text{cela}} = \frac{n\;M}{N_A},
    onde m_{\text{cela}} é a massa da cela (em gramas), n é o número de átomos por cela (aqui n=4), M é a massa molar (em \mathrm{g\\ mol^{-1}}) e N_A é o número de Avogadro (em \mathrm{mol^{-1}}).
  • Substituindo os valores:
    m_{\text{cela}} = \frac{4\cdot63,546}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.
  • Cálculo numérico (mostrar passo a passo):
    4\cdot63,546 = 254,184
m_{\text{cela}} = \frac{254,184}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx 4,22\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Calcular o volume da cela unitária usando a densidade.
  • Relação entre massa, densidade e volume:
    \rho = \frac{m_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{cela}} = \frac{m_{\text{cela}}}{\rho},
    onde V_{\text{cela}} está em \mathrm{cm^{3}} se m_{\text{cela}} estiver em g e \rho em \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Substituindo os valores:
    V_{\text{cela}} = \frac{4,22\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{8,96\\ \mathrm{g/cm^{3}}}.
  • Cálculo:
    V_{\text{cela}} \approx 4,71\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
    (Esse é o volume da cela unitária pedido na parte (a).)

Passo 4

Determinar o parâmetro de rede a (aresta do cubo) a partir do volume da cela.
  • Relação entre volume da cela e parâmetro de rede:
    V_{\text{cela}} = a^{3}\quad\Rightarrow\quad a = \sqrt[3]{V_{\text{cela}}}.
  • Substituindo V_{\text{cela}} = 4,71\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}:
    a = \sqrt[3]{4,71\times10^{-23}}\\ \mathrm{cm}.
  • Cálculo numérico (mostrar conversões):
    a \approx 3,61\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
    Converter para metros e depois para picômetros (pm):
    3,61\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} = 3,61\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 361\\ \mathrm{pm}.

Passo 5

Calcular o raio atômico r usando a relação geométrica da cfc.
  • Relação (relembrando):
    \sqrt{2}\,a = 4r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{2}}{4}\,a.
    Aqui a está em pm se quisermos r em pm.
  • Substituindo a = 361\\ \mathrm{pm}:
    r = \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot361\\ \mathrm{pm}.
  • Cálculo numérico:
    \frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0,353553,
r \approx 0,353553\cdot361\\ \mathrm{pm}\approx127,7\\ \mathrm{pm}.
  • Arredondando de forma prática para a prova: r \approx 128\\ \mathrm{pm}.

Resposta

(a) 4,71\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}
(b) 128\\ \mathrm{pm}

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