*12.8. Determine as equações da linha elástica para o eixo utilizando as coordenadas x_{1} e x_{3}. Especifique a inclinação em A e a deflexão no centro do eixo. E I é constante.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações da linha elástica (função de deflexão do eixo) usando as coordenadas \,x_{1}\, e \,x_{3}\,; especificar a inclinação em A e a deflexão no centro do eixo. Dados fornecidos (da figura): cargas concentradas P aplicadas nas extremidades livres, dois apoios A e B separados por uma distância b, com overhangs de comprimento a em cada extremidade; o produto \,E I\, é constante. As coordenadas são: \,x_{1}\, medida a partir da extremidade esquerda até o apoio A ( 0\le x_{1}\le a) e \,x_{3}\, medida a partir de A para a direita ao longo do vão entre os apoios ( 0\le x_{3}\le b).\n\nInformações relevantes listadas: \n- Forças: dois carregamentos verticais para baixo, cada um de magnitude \,P, nas extremidades livres.\n- Geometria: overhangs de comprimento \,a em cada extremidade; distância entre apoios A e B igual a \,b. Comprimento total L=2a+b.\n- Material/rigidez: \,E I\, constante.\n- Deve-se usar as coordenadas \,x_{1}\, (na lâmina esquerda, do extremo até A) e \,x_{3}\, (entre A e B).\n\nO próximo passo é encontrar as reações de apoio (estáticas) e escrever o momento fletor em cada região, para então integrar \,E I\,y''=M(x)\, duas vezes em cada trecho e aplicar as condições de contorno/continuidade.

Passo 2

Equilíbrios estáticos para achar as reações em A e B. Como a configuração e as cargas são simétricas (mesmo P nas duas extremidades, overhangs iguais), as reações nos apoios são iguais. Pela soma das forças verticais:
R_A+R_B=2P.
Por simetria segue
R_A=R_B=P.
Vou usar essas reações para montar as expressões do momento fletor em cada região.

Passo 3

Definir sinais e equações de momento nas duas regiões de interesse (usar convenção padrão: y é deslocamento vertical positivo para cima e a equação de flexão é
E I\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=M(x).
Tomando momentos com sinal consistente, obtemos as expressões algébricas do momento interno M em cada trecho.)
Região 1 (overhang esquerdo): para um ponto a uma distância \,x_{1}\, da extremidade esquerda (com 0\le x_{1}\le a), à esquerda da seção existe somente a carga P aplicada na extremidade. Somando momentos à esquerda da seção dá
M_{1}(x_{1}) = -P\,x_{1}.
O sinal negativo indica que a ação de P produz momento que curva o eixo no sentido convexo para cima (convenção escolhida).
Região 3 (entre apoios A e B): para um ponto a uma distância \,x_{3}\, a partir de A (com 0\le x_{3}\le b), somando momentos à esquerda da seção (incluindo a carga da extremidade esquerda e a reação em A) obtemos, com R_A=P,
M_{3}(x_{3}) = -P\,a \quad\text{(constante ao longo do vão)}.ã
Observação: não há momento concentrado em A, então o momento interno é contínuo em A.

Passo 4

Escrever as equações diferenciais da linha elástica em cada região usando \,E I\,y''=M(x).
Na região 1:
E I\,\frac{d^{2}y_{1}}{dx_{1}^{2}} = -P\,x_{1}.
Na região 3:
E I\,\frac{d^{2}y_{3}}{dx_{3}^{2}} = -P\,a.
A partir daqui integramos duas vezes em cada região para obter y_{1}(x_{1}) e y_{3}(x_{3}), com constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno e continuidade.

Passo 5

Integrar região 3 (mais simples, momento constante):
Partindo de
E I\,y_{3}''(x_{3}) = -P a,
integra-se:
E I\,y_{3}'(x_{3}) = -\frac{P a}{1}\,x_{3} + C_{3,1}
e
E I\,y_{3}(x_{3}) = -\frac{P a}{2}\,x_{3}^{2} + C_{3,1}\,x_{3} + C_{3,2}.
Usamos as condições de contorno/restrições na região entre apoios:
  • Apoio em A (em x_{3}=0) impõe y_{3}(0)=0, logo C_{3,2}=0.
  • Apoio em B (em x_{3}=b) impõe y_{3}(b)=0, então substituindo:
0 = -\frac{P a}{2}b^{2} + C_{3,1} b \quad\Rightarrow\quad C_{3,1} = \frac{P a b}{2}.
Portanto:
E I\,y_{3}'(x_{3}) = -P a\,x_{3} + \frac{P a b}{2}
e
E I\,y_{3}(x_{3}) = -\frac{P a}{2}\,x_{3}^{2} + \frac{P a b}{2}\,x_{3}.
Podemos fatorar a expressão para y_{3}:
E I\,y_{3}(x_{3}) = -\frac{P a}{2}\,x_{3} (b - x_{3}).

Passo 6

Obter a inclinação em A (do lado direito do apoio), que é y_{3}'(0). Da expressão integrada:
E I\,y_{3}'(x_{3}) = -P a\,x_{3} + \frac{P a b}{2}.
Logo, em x_{3}=0:
E I\,y_{3}'(0) = \frac{P a b}{2} \quad\Rightarrow\quad y_{3}'(0)=\frac{P a b}{2 E I}.
A inclinação em A (ângulo da tangente, no sentido algébrico com a convenção adotada) é portanto
\boxed{y'(A)=\frac{P a b}{2 E I}.}

Passo 7

Integrar região 1:
Partindo de
E I\,y_{1}''(x_{1}) = -P x_{1},
integramos:
E I\,y_{1}'(x_{1}) = -\frac{P}{2}\,x_{1}^{2} + C_{1,1},
E I\,y_{1}(x_{1}) = -\frac{P}{6}\,x_{1}^{3} + C_{1,1}\,x_{1} + C_{1,2}.
As constantes C_{1,1} e C_{1,2} são determinadas pelas condições de contorno/continuidade em A:
  • Continuidade de deflexão em A: y_{1}(a)=y_{3}(0)=0, logo y_{1}(a)=0.
  • Continuidade de inclinação em A: y_{1}'(a)=y_{3}'(0). Já sabemos y_{3}'(0)=\dfrac{P a b}{2 E I}.
Usando y_{1}'(a)= -\dfrac{P}{2 E I} a^{2} + \dfrac{C_{1,1}}{E I} = \dfrac{P a b}{2 E I} obtemos:
-\frac{P}{2}a^{2} + C_{1,1} = \frac{P a b}{2} \quad\Rightarrow\quad C_{1,1} = \frac{P a}{2}(a+b).
Usando y_{1}(a)=0:
-\frac{P}{6}a^{3} + C_{1,1}\,a + C_{1,2} = 0
substituindo C_{1,1} encontramos
C_{1,2} = \frac{P a^{2}}{6}\,( -1 + 3\frac{a+b}{a} ) = -\frac{P a^{2}}{6}(2a+3b).
(ao reorganizar os termos chega-se à forma abaixo).

Passo 8

Escrever as expressões finais da linha elástica nas duas regiões (colocar E I do outro lado):
Região 1 ( 0\le x_{1}\le a):
\begin{aligned} E I\,y_{1}(x_{1}) &= -\frac{P}{6}\,x_{1}^{3} + \frac{P a(a+b)}{2}\,x_{1} - \frac{P a^{2}(2a+3b)}{6}. \end{aligned}
Região 3 ( 0\le x_{3}\le b):
\begin{aligned} E I\,y_{3}(x_{3}) &= -\frac{P a}{2}\,x_{3}^{2} + \frac{P a b}{2}\,x_{3} = -\frac{P a}{2}\,x_{3}(b-x_{3}). \end{aligned}
Estas são as equações da linha elástica com a convenção adotada (sinais de acordo com y positivo para cima e com os momentos tomados acima).

Passo 9

Calcular a deflexão no centro do eixo. O centro do eixo (meio do comprimento total) fica no meio do vão entre os apoios: em termos de x_{3}, o centro é x_{3}=\dfrac{b}{2}. Substituindo em y_{3}:
E I\,y_{3}\!\left(\frac{b}{2}\right) = -\frac{P a}{2}\,\frac{b^{2}}{4} + \frac{P a b}{2}\,\frac{b}{2} = -\frac{P a b^{2}}{8} + \frac{P a b^{2}}{4} = \frac{P a b^{2}}{8}.
Portanto
y_{3}\!\left(\frac{b}{2}\right) = \frac{P a b^{2}}{8 E I}.
Interpretando o sinal: pela convenção adotada no desenvolvimento (veja notas sobre sinais), o valor algébrico acima indica a magnitude e direção da deflexão no centro. Em termos práticos, o centro sofre uma deflexão vertical de magnitude \dfrac{P a b^{2}}{8 E I}.

Resposta

E I\,y_{1}(x_{1})=-\dfrac{P}{6}\,x_{1}^{3}+\dfrac{P a(a+b)}{2}\,x_{1}-\dfrac{P a^{2}(2a+3b)}{6}\quad(0\le x_{1}\le a)\n
E I\,y_{3}(x_{3})=-\dfrac{P a}{2}\,x_{3}^{2}+\dfrac{P a b}{2}\,x_{3}=-\dfrac{P a}{2}\,x_{3}(b-x_{3})\quad(0\le x_{3}\le b)\n
Inclinação em A:\quad y'(A)=\dfrac{P a b}{2 E I}\n
Deflexão no centro:\quad y\!\left(\dfrac{b}{2}\right)=\dfrac{P a b^{2}}{8 E I}

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