*12.8. Determine as equações da linha elástica para o eixo utilizando as coordenadas
e
. Especifique a inclinação em
e a deflexão no centro do eixo.
é constante.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações da linha elástica (função de deflexão do eixo) usando as coordenadas
e
; especificar a inclinação em
e a deflexão no centro do eixo. Dados fornecidos (da figura): cargas concentradas
aplicadas nas extremidades livres, dois apoios
e
separados por uma distância
, com overhangs de comprimento
em cada extremidade; o produto
é constante. As coordenadas são:
medida a partir da extremidade esquerda até o apoio
(
) e
medida a partir de
para a direita ao longo do vão entre os apoios (
).\n\nInformações relevantes listadas: \n- Forças: dois carregamentos verticais para baixo, cada um de magnitude
, nas extremidades livres.\n- Geometria: overhangs de comprimento
em cada extremidade; distância entre apoios
e
igual a
. Comprimento total
.\n- Material/rigidez:
constante.\n- Deve-se usar as coordenadas
(na lâmina esquerda, do extremo até
) e
(entre
e
).\n\nO próximo passo é encontrar as reações de apoio (estáticas) e escrever o momento fletor em cada região, para então integrar
duas vezes em cada trecho e aplicar as condições de contorno/continuidade.
Passo 2
Equilíbrios estáticos para achar as reações em
e
. Como a configuração e as cargas são simétricas (mesmo
nas duas extremidades, overhangs iguais), as reações nos apoios são iguais. Pela soma das forças verticais:
Por simetria segue
Vou usar essas reações para montar as expressões do momento fletor em cada região.
Passo 3
Definir sinais e equações de momento nas duas regiões de interesse (usar convenção padrão:
é deslocamento vertical positivo para cima e a equação de flexão é
Tomando momentos com sinal consistente, obtemos as expressões algébricas do momento interno
em cada trecho.)
Região 1 (overhang esquerdo): para um ponto a uma distância
da extremidade esquerda (com
), à esquerda da seção existe somente a carga
aplicada na extremidade. Somando momentos à esquerda da seção dá
O sinal negativo indica que a ação de
produz momento que curva o eixo no sentido convexo para cima (convenção escolhida).
Região 3 (entre apoios
e
): para um ponto a uma distância
a partir de
(com
), somando momentos à esquerda da seção (incluindo a carga da extremidade esquerda e a reação em
) obtemos, com
,
Observação: não há momento concentrado em
, então o momento interno é contínuo em
.
Passo 4
Escrever as equações diferenciais da linha elástica em cada região usando
.
Na região 1:
Na região 3:
A partir daqui integramos duas vezes em cada região para obter
e
, com constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno e continuidade.
Passo 5
Integrar região 3 (mais simples, momento constante):
Partindo de
integra-se:
e
Usamos as condições de contorno/restrições na região entre apoios:
- Apoio em
(em ) impõe , logo . - Apoio em
(em ) impõe , então substituindo:
Portanto:
e
Podemos fatorar a expressão para
:
Passo 6
Obter a inclinação em
(do lado direito do apoio), que é
. Da expressão integrada:
Logo, em
:
A inclinação em
(ângulo da tangente, no sentido algébrico com a convenção adotada) é portanto
Passo 7
Integrar região 1:
Partindo de
integramos:
As constantes
e
são determinadas pelas condições de contorno/continuidade em
:
- Continuidade de deflexão em
: , logo . - Continuidade de inclinação em
: . Já sabemos .
Usando
obtemos:
Usando
:
substituindo
encontramos
(ao reorganizar os termos chega-se à forma abaixo).
Passo 8
Escrever as expressões finais da linha elástica nas duas regiões (colocar
do outro lado):
Região 1 (
):
Região 3 (
):
Estas são as equações da linha elástica com a convenção adotada (sinais de acordo com
positivo para cima e com os momentos tomados acima).
Passo 9
Calcular a deflexão no centro do eixo. O centro do eixo (meio do comprimento total) fica no meio do vão entre os apoios: em termos de
, o centro é
. Substituindo em
:
Portanto
Interpretando o sinal: pela convenção adotada no desenvolvimento (veja notas sobre sinais), o valor algébrico acima indica a magnitude e direção da deflexão no centro. Em termos práticos, o centro sofre uma deflexão vertical de magnitude
.
Resposta
Inclinação em
Deflexão no centro:\quad