*14.16. O anel tem massa de 20 kg e repousa sobre a haste lisa. Duas molas estão ligadas a ele e estão sem deformação quando
. Determine a velocidade escalar do anel depois que a força aplicada
faz com que ele seja deslocado, de modo
que
. Quando
, o anel está em repouso.
que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados fornecidos:
- massa do anel:
. - força constante aplicada:
. - posição inicial:
— nessa posição as duas molas estão sem deformação. - posição final:
. - o anel está em repouso quando
. - a haste é lisa (não há atrito).
- massa do anel:
-
O que é pedido:
- determinar a velocidade escalar do anel quando ele chega a
.
- determinar a velocidade escalar do anel quando ele chega a
-
Informação que falta (necessária para um cálculo numérico):
- a constante elástica das molas (ou constantes, se forem diferentes)
. - a geometria/posição dos pontos de fixação das molas (isto é, qual é a distância horizontal entre os pontos de fixação e o eixo onde o anel desliza). Essa geometria define o alongamento das molas quando
muda. - também poderia faltar uma figura que mostre como as molas estão presas (ângulos, distâncias horizontais, etc.).
- a constante elástica das molas (ou constantes, se forem diferentes)
Observação: o enunciado original muito provavelmente tinha uma figura que fornece a posição dos pontos de fixação ou o valor de
. Sem esses dados não é possível obter um valor numérico definitivo da velocidade. A seguir eu explico passo a passo o método correto e obtenho a fórmula geral que você usaria na prova; com essa fórmula, ao fornecer
e a geometria, você calcula imediatamente a velocidade.
Passo 2
Ideia geral do método (a “ferramenta” que você usará na prova): conservação de energia / teorema do trabalho-energia para forças conservativas + trabalho de forças externas.
Explicação didática:
- Quando uma força constante
desloca o anel de para , essa força realiza trabalho sobre o sistema. Parte desse trabalho vai para a energia cinética do anel e parte fica armazenada como energia potencial nas molas (porque elas se deformam). - O teorema do trabalho-energia nos diz que o trabalho total realizado pelas forças externas (aqui a força
, já que não há atrito) é igual à variação da energia cinética mais a variação da energia potencial associada às forças elásticas. - Fórmula geral do balanço (usando sinais de forma clara):
Onde: -
é o trabalho realizado por . -
(o anel parte do repouso). -
.
-
Passo 3
Calcular o trabalho realizado pela força constante
.
- A força atua na direção do deslocamento (assumimos que a força desloca o anel na direção que reduz
de para ). O módulo do deslocamento é - Trabalho realizado por
:
Explicação curta: trabalho de força constante é simplesmente força vezes deslocamento na mesma direção.
Passo 4
Energia potencial das molas — como escrever em forma simbólica (aqui vem a parte geométrica explicada com calma).
-
Para uma mola linear, a energia potencial éonde
é a mudança de comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural, e é a constante elástica. Explicando: diz o quão “rígida” é a mola; quanto maior , mais difícil deformá-la. -
No enunciado nos informam que quando
as molas estão sem deformação: isso significa que o comprimento natural de cada mola é exatamente o comprimento geométrico nessa posição. Logo, o comprimento natural de cada mola é o comprimento quando . -
Para escrever o alongamento em função de
precisamos da expressão do comprimento geométrico da mola quando o anel está em uma dada posição . Supondo as duas molas simétricas, denote por a distância horizontal fixa (meia separação) entre o ponto de fixação da mola e o eixo onde o anel desliza (esse vem da figura que não foi enviada). Então o comprimento geométrico de uma mola quando o anel está a uma distância da linha de fixação é Observação: eu chamei dea metade da separação horizontal entre pontos de fixação; se a figura usa outra letra ou se as molas estão dispostas diferente, substitua por aquela geometria. -
Como as molas estão sem deformação em
, temos -
O alongamento quando o anel está em
é -
A variação total de energia potencial (as duas molas) ao ir de
para é, portanto, Mas(porque nessa posição as molas estão sem deformação), então simplifica para
Explicação didática: estamos usando que há duas molas idênticas, então a energia total elástica é duas vezes a de uma mola; mas como a energia de uma mola na posição inicial é zero, só resta a energia na posição final.
Passo 5
Aplicar o balanço energia/trabalho e isolar a velocidade.
- Pelo teorema do trabalho-energia:
Substituindo e , obtemos - Isolando
:
- Substituindo
explicitamente:
Observação didática: a quantidade dentro da raiz deve ser não-negativa. Se tornasse negativa, isto indicaria que, com os dados
e
dados, a força
não fornece trabalho suficiente para deslocar o anel até
— nesse caso o anel não alcançaria
com essa força constante.
Passo 6
Exemplos e interpretação prática (para você ver como usar a fórmula na prova).
-
Se as molas fossem desprezíveis (
, caso extremo, só para entender): (Aqui useiporque — ver substituição direta: .) -
Se você me der o valor numérico de
e a posição/medida geométrica correspondente a (ou enviar a figura do enunciado), eu plugo na fórmula acima e entrego o valor numérico final imediatamente. Dá para ver que o procedimento é rápido na prova: calcular a diferença entre comprimentos, elevar ao quadrado, multiplicar por , subtrair de 20 e aplicar a raiz.
Passo 7
Resumo final do que falta e do que fazer na prova:
- Falta:
e a geometria (valor de ou a figura). Sem eles não há número final. - Na prova: identifique
na figura, calcule e , calcule , calcule energia elástica final , e use a fórmula do Passo 5 para obter . Você pode fazer tudo isso sem calculadora se os números forem simples.