*14.16. O anel tem massa de 20 kg e repousa sobre a haste lisa. Duas molas estão ligadas a ele e estão sem deformação quando d=0,5 \mathrm{~m}. Determine a velocidade escalar do anel depois que a força aplicada F=100 \mathrm{~N} faz com que ele seja deslocado, de modo
que d=0,3 \mathrm{~m}. Quando d=0,5 \mathrm{~m}, o anel está em repouso.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • massa do anel: \,m=20\\ \mathrm{kg}.
    • força constante aplicada: \,F=100\\ \mathrm{N}.
    • posição inicial: \,d_i=0{,}5\\ \mathrm{m} — nessa posição as duas molas estão sem deformação.
    • posição final: \,d_f=0{,}3\\ \mathrm{m}.
    • o anel está em repouso quando \,d=0{,}5\\ \mathrm{m}.
    • a haste é lisa (não há atrito).
  • O que é pedido:
    • determinar a velocidade escalar do anel quando ele chega a \,d=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Informação que falta (necessária para um cálculo numérico):
    • a constante elástica das molas (ou constantes, se forem diferentes) \,k.
    • a geometria/posição dos pontos de fixação das molas (isto é, qual é a distância horizontal entre os pontos de fixação e o eixo onde o anel desliza). Essa geometria define o alongamento das molas quando d muda.
    • também poderia faltar uma figura que mostre como as molas estão presas (ângulos, distâncias horizontais, etc.).
Observação: o enunciado original muito provavelmente tinha uma figura que fornece a posição dos pontos de fixação ou o valor de \,k. Sem esses dados não é possível obter um valor numérico definitivo da velocidade. A seguir eu explico passo a passo o método correto e obtenho a fórmula geral que você usaria na prova; com essa fórmula, ao fornecer \,k e a geometria, você calcula imediatamente a velocidade.

Passo 2

Ideia geral do método (a “ferramenta” que você usará na prova): conservação de energia / teorema do trabalho-energia para forças conservativas + trabalho de forças externas.
Explicação didática:
  • Quando uma força constante \,F desloca o anel de \,d_i para \,d_f, essa força realiza trabalho sobre o sistema. Parte desse trabalho vai para a energia cinética do anel e parte fica armazenada como energia potencial nas molas (porque elas se deformam).
  • O teorema do trabalho-energia nos diz que o trabalho total realizado pelas forças externas (aqui a força F, já que não há atrito) é igual à variação da energia cinética mais a variação da energia potencial associada às forças elásticas.
  • Fórmula geral do balanço (usando sinais de forma clara): W_F = \Delta K + \Delta U_{\text{molas}}.Onde:
    • W_F é o trabalho realizado por F.
    • \Delta K = \dfrac{1}{2}m v^2 - 0 (o anel parte do repouso).
    • \Delta U_{\text{molas}} = U_{\text{molas}}(d_f) - U_{\text{molas}}(d_i).

Passo 3

Calcular o trabalho realizado pela força constante \,F.
  • A força atua na direção do deslocamento (assumimos que a força desloca o anel na direção que reduz d de 0{,}5 para 0{,}3). O módulo do deslocamento é \Delta d = d_i - d_f = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Trabalho realizado por F: W_F = F\cdot \Delta d = 100\cdot 0{,}2 = 20\\ \mathrm{J}.
Explicação curta: trabalho de força constante é simplesmente força vezes deslocamento na mesma direção.

Passo 4

Energia potencial das molas — como escrever em forma simbólica (aqui vem a parte geométrica explicada com calma).
  • Para uma mola linear, a energia potencial é
    U_{\text{mola}}=\frac{1}{2}k(\Delta L)^2,
    onde \Delta L é a mudança de comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural, e k é a constante elástica. Explicando: k diz o quão “rígida” é a mola; quanto maior k, mais difícil deformá-la.
  • No enunciado nos informam que quando \,d=0{,}5\\ \mathrm{m} as molas estão sem deformação: isso significa que o comprimento natural de cada mola é exatamente o comprimento geométrico nessa posição. Logo, o comprimento natural L_0 de cada mola é o comprimento quando d=0{,}5.
  • Para escrever o alongamento em função de d precisamos da expressão do comprimento geométrico da mola quando o anel está em uma dada posição d. Supondo as duas molas simétricas, denote por a a distância horizontal fixa (meia separação) entre o ponto de fixação da mola e o eixo onde o anel desliza (esse a vem da figura que não foi enviada). Então o comprimento geométrico de uma mola quando o anel está a uma distância d da linha de fixação é
    L(d)=\sqrt{a^2+d^2}.
    Observação: eu chamei de a a metade da separação horizontal entre pontos de fixação; se a figura usa outra letra ou se as molas estão dispostas diferente, substitua por aquela geometria.
  • Como as molas estão sem deformação em d_i=0{,}5, temos
    L_0=L(0{,}5)=\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}.
  • O alongamento quando o anel está em d é
    \Delta L(d)=L(d)-L(0{,}5)=\sqrt{a^2+d^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}.
  • A variação total de energia potencial (as duas molas) ao ir de d_i para d_f é, portanto,
    \Delta U_{\text{molas}} = 2\cdot\frac{1}{2}k\big(\Delta L(d_f)\big)^2 - 2\cdot\frac{1}{2}k\big(\Delta L(d_i)\big)^2.
    Mas \Delta L(d_i)=\Delta L(0{,}5)=0 (porque nessa posição as molas estão sem deformação), então simplifica para
    \Delta U_{\text{molas}} = k\big(\Delta L(d_f)\big)^2 = k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2.
Explicação didática: estamos usando que há duas molas idênticas, então a energia total elástica é duas vezes a de uma mola; mas como a energia de uma mola na posição inicial é zero, só resta a energia na posição final.

Passo 5

Aplicar o balanço energia/trabalho e isolar a velocidade.
  • Pelo teorema do trabalho-energia: W_F = \Delta K + \Delta U_{\text{molas}}.Substituindo W_F=20\\ \mathrm{J} e \Delta K=\dfrac{1}{2}m v^2, obtemos 20 = \frac{1}{2}m v^2 + k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2.
  • Isolando v: \frac{1}{2}m v^2 = 20 - k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2,
v^2 = \frac{2}{m}\left[20 - k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2\right],
v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[20 - k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2\right]}.
  • Substituindo m=20\\ \mathrm{kg} explicitamente: v = \sqrt{\frac{2}{20}\left[20 - k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2\right]}.
Observação didática: a quantidade dentro da raiz deve ser não-negativa. Se tornasse negativa, isto indicaria que, com os dados k e a dados, a força F não fornece trabalho suficiente para deslocar o anel até d_f — nesse caso o anel não alcançaria d_f com essa força constante.

Passo 6

Exemplos e interpretação prática (para você ver como usar a fórmula na prova).
  • Se as molas fossem desprezíveis ( k=0, caso extremo, só para entender):
    v = \sqrt{\frac{2\cdot 20}{20}} = \sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}414\\ \mathrm{m/s}.
    (Aqui usei 2\cdot 20 porque W_F=20 — ver substituição direta: v=\sqrt{\tfrac{2\cdot 20}{20}}=\sqrt{2}.)
  • Se você me der o valor numérico de \,k e a posição/medida geométrica correspondente a \,a (ou enviar a figura do enunciado), eu plugo na fórmula acima e entrego o valor numérico final imediatamente. Dá para ver que o procedimento é rápido na prova: calcular a diferença entre comprimentos, elevar ao quadrado, multiplicar por k, subtrair de 20 e aplicar a raiz.

Passo 7

Resumo final do que falta e do que fazer na prova:
  • Falta: \,k e a geometria (valor de a ou a figura). Sem eles não há número final.
  • Na prova: identifique a na figura, calcule L(0{,}3) e L(0{,}5), calcule \Delta L, calcule energia elástica final k(\Delta L)^2, e use a fórmula do Passo 5 para obter v. Você pode fazer tudo isso sem calculadora se os números forem simples.

Resposta

v=\sqrt{\frac{2}{20}\left[20 - k\Big(\sqrt{a^2+(0{,}3)^2}-\sqrt{a^2+(0{,}5)^2}\Big)^2\right]}

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