12 - Um elétron no estado de spin
b) Calcule o valor esperado de
e
.
Passo 1
O enunciado dá o estado de spin (spinor) do elétron
e pede o valor esperado de
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O spinor tem componentes
e . - O fator
é uma constante de normalização não informada. - Os operadores de spin para spin
serão usados: , onde são as matrizes de Pauli.
O que precisamos calcular:
- Normalizar
para determinar . - Calcular
para .
Passo 2
Normalização do spinor: a condição de normalização é
Escrevendo
obtemos
Impondo
obtemos
Como a fase global não afeta valores esperados, podemos escolher
real e positivo. Assim o spinor normalizado é
Passo 3
Lembrete sobre operadores de spin para spin
:
- As matrizes de Pauli são
- Os operadores de spin são
- O valor esperado de um operador
no estado é
Aqui usaremos
.]
Passo 4
Cálculo de
.
Primeiro calculemos
. Com
temos
Agora o produto interno:
Calcule o parêntese:
Logo
Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Primeiro aplique
ao spinor:
pois
.
Agora o produto interno:
Calcule os termos:
. Assim
Portanto
Observação alternativa (intuitiva): para um spinor
,
. Aqui
,
, então dá
igual ao cálculo acima.]
Passo 6
Cálculo de
.
A ação de
é simples:
Produto interno:
Logo
Passo 7
Checagem rápida (consistência): o vetor de expectativas em unidades de
é
O quadrado do comprimento deste vetor é
ou seja o comprimento é
, logo
. Isso é compatível com o fato de
ser um estado puro de spin
.