12 - Um elétron no estado de spin
\chi=A\binom{1}{2 i}
b) Calcule o valor esperado de S_{x}, S_{y} e S_{z}.

Passo 1

O enunciado dá o estado de spin (spinor) do elétron
\chi = A\begin{pmatrix}1 \\\\ 2i\end{pmatrix}
e pede o valor esperado de S_x, S_y e S_z.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O spinor tem componentes c_1=1 e c_2=2i.
  • O fator A é uma constante de normalização não informada.
  • Os operadores de spin para spin 1/2 serão usados: S_i = \dfrac{\hbar}{2}\sigma_i, onde \sigma_i são as matrizes de Pauli.
O que precisamos calcular:
  • Normalizar \chi para determinar A.
  • Calcular \langle S_i\rangle = \chi^\dagger S_i \chi para i=x,y,z.

Passo 2

Normalização do spinor: a condição de normalização é
\chi^\dagger \chi = 1.
Escrevendo \chi = A\begin{pmatrix}1\\\ 2i\end{pmatrix} obtemos
\chi^\dagger \chi = |A|^2\left(|1|^2 + |2i|^2\right) = |A|^2(1 + 4) = 5|A|^2.
Impondo 5|A|^2 = 1 obtemos
|A| = \frac{1}{\sqrt{5}}.
Como a fase global não afeta valores esperados, podemos escolher A=\dfrac{1}{\sqrt{5}} real e positivo. Assim o spinor normalizado é
\chi = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\\ 2i\end{pmatrix}.

Passo 3

Lembrete sobre operadores de spin para spin 1/2:
  • As matrizes de Pauli são
\sigma_x = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix},\qquad \sigma_z = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
  • Os operadores de spin são
S_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i\qquad(i=x,y,z).
  • O valor esperado de um operador O no estado \chi é
\langle O\rangle = \chi^\dagger O \chi.
Aqui usaremos \langle S_i\rangle = \dfrac{\hbar}{2}\,\chi^\dagger \sigma_i \chi.]

Passo 4

Cálculo de \langle S_x\rangle.
Primeiro calculemos \chi^\dagger \sigma_x \chi. Com \chi=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\\ 2i\end{pmatrix} temos
\sigma_x\chi = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora o produto interno:
\chi^\dagger \sigma_x \chi = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2i\end{pmatrix}\right)^{\!T} \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}\right) = \frac{1}{5}\big(1\cdot 2i + (-2i)\cdot 1\big).
Calcule o parêntese:
1\cdot 2i + (-2i)\cdot 1 = 2i - 2i = 0.
Logo
\chi^\dagger \sigma_x \chi = 0.
Portanto
\langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2}\cdot 0 = 0.]

Passo 5

Cálculo de \langle S_y\rangle.
Primeiro aplique \sigma_y ao spinor:
\sigma_y\chi = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}0 & -i\\[4pt] i & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-i\cdot 2i\\[4pt] i\cdot 1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2i^2\\[4pt] i\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt] i\end{pmatrix},
pois i^2=-1.
Agora o produto interno:
\chi^\dagger \sigma_y \chi = \frac{1}{5}\big(1\cdot 2 + (-2i)\cdot i\big).
Calcule os termos: (-2i)\cdot i = -2i^2 = -2(-1)=2. Assim
\chi^\dagger \sigma_y \chi = \frac{1}{5}(2 + 2) = \frac{4}{5}.
Portanto
\langle S_y\rangle = \frac{\hbar}{2}\cdot \frac{4}{5} = \frac{2\hbar}{5}.
Observação alternativa (intuitiva): para um spinor \begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix},
\chi^\dagger\sigma_y\chi = 2\,\mathrm{Im}(c_1^* c_2). Aqui c_1^*c_2=1\cdot 2i=2i, \mathrm{Im}(2i)=2, então dá 2\cdot 2/5=4/5 igual ao cálculo acima.]

Passo 6

Cálculo de \langle S_z\rangle.
A ação de \sigma_z é simples:
\sigma_z\chi = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2i\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2i\end{pmatrix}.
Produto interno:
\chi^\dagger \sigma_z \chi = \frac{1}{5}\big(1\cdot 1 + (-2i)\cdot (-2i)\big) = \frac{1}{5}\big(1 + 4i^2\big) = \frac{1}{5}(1 - 4) = -\frac{3}{5}.
Logo
\langle S_z\rangle = \frac{\hbar}{2}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3\hbar}{10}.]

Passo 7

Checagem rápida (consistência): o vetor de expectativas em unidades de \hbar é
\left(\frac{\langle S_x\rangle}{\hbar},\frac{\langle S_y\rangle}{\hbar},\frac{\langle S_z\rangle}{\hbar}\right) = \left(0,\frac{2}{5},-\frac{3}{10}\right).
O quadrado do comprimento deste vetor é
0^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(-\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{4}{25} + \frac{9}{100} = \frac{16}{100} + \frac{9}{100} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4},
ou seja o comprimento é 1/2, logo \sqrt{\langle\vec S\rangle\cdot\langle\vec S\rangle}=\hbar/2. Isso é compatível com o fato de \chi ser um estado puro de spin 1/2.

Resposta

\langle S_x\rangle = 0
\langle S_y\rangle = \dfrac{2\hbar}{5}
\langle S_z\rangle = -\dfrac{3\hbar}{10}

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