11 - A energia de interação spin-órbita pode ser escrita como V_{s o}=\frac{1}{2 m^{2} c^{2}} \frac{1}{r} \frac{1 V}{d r}(\vec{L} \cdot \vec{S}).
b) Para um eletron em um estado p(l=1), calcule o deslocamento relativo de energia entre os estados j=3 / 2 e j=1 / 2 causado por essa interação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (assunções claras).
  • Dá a interação spin-órbita:
V_{so}=\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\,(\vec L\cdot\vec S).
  • Pede: para um elétron em um estado p ( l=1), calcular o deslocamento relativo de energia entre os estados j=3/2 e j=1/2 causado por essa interação.
  • Assunção (padrão para esse tipo de questão): o elétron está num átomo hidrogenoide com potencial coulombiano central
V(r)=-\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}\,r},
onde Z é a carga nuclear efetiva (para H, Z=1). Não foi fornecido n no enunciado; mantemos a dependência em n (número quântico principal).

Passo 2

Valores esperados de \vec L\cdot\vec S em estados de momento total j.
  • Fórmula geral para o autovalor de \vec L\cdot\vec S (em um autestado simultâneo de \vec J^2,\vec L^2,\vec S^2):
\langle\vec L\cdot\vec S\rangle = \frac{1}{2}\big(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\big).
  • Aqui l=1 e s=\tfrac{1}{2}. Então:
    • Para j=\tfrac{3}{2}:
    \langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{3/2} =\frac{1}{2}\big(\tfrac{3}{2}(\tfrac{3}{2}+1)-1(1+1)-\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}+1)\big) =\frac{1}{2}\big(\tfrac{15}{4}-2-\tfrac{3}{4}\big)=\frac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}.
    • Para j=\tfrac{1}{2}:
    \langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{1/2} =\frac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}+1)-2-\tfrac{3}{4}\big) =\frac{1}{2}\big(\tfrac{3}{4}-2-\tfrac{3}{4}\big)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1.
  • Diferença requerida:
\Delta\langle\vec L\cdot\vec S\rangle =\langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{3/2}-\langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{1/2} =\tfrac{1}{2}-(-1)=\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Avaliar \frac{1}{r}\frac{dV}{dr} para o potencial coulombiano.
  • Para V(r)=-\dfrac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0} r} temos
\frac{dV}{dr}=+\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0} r^{2}}, \qquad \frac{1}{r}\frac{dV}{dr}=\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}.
  • Logo o operador spin-órbita fica
V_{so}=\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}(\vec L\cdot\vec S).

Passo 4

A expectativa da energia de spin-órbita separa em radial × angular.
  • A média em um estado |n,l,j\rangle é
\langle V_{so}\rangle_{nlj}=\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}} \langle r^{-3}\rangle_{n l}\,\langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{j}.
  • Portanto a diferença de energia entre j=3/2 e j=1/2 é
\Delta E\equiv E_{3/2}-E_{1/2} =\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}} \langle r^{-3}\rangle_{n l}\, \Big(\langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{3/2}-\langle\vec L\cdot\vec S\rangle_{1/2}\Big).

Passo 5

Valor do integral radial \langle r^{-3}\rangle para estados hidrogenoides.
  • Fórmula conhecida (resultante da integral radial dos orbitais hidrogenoides) para l>0:
\langle r^{-3}\rangle_{n l}=\frac{Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}\cdot\frac{1}{l(l+\tfrac{1}{2})(l+1)},
onde a_{0} é o raio de Bohr.
  • Para l=1 isto dá
\langle r^{-3}\rangle_{n,\,l=1}=\frac{Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}\cdot\frac{1}{1\cdot\tfrac{3}{2}\cdot 2}=\frac{Z^{3}}{3\,n^{3}a_{0}^{3}}.

Passo 6

Substituir tudo e simplificar a expressão para \Delta E.
  • Usando \Delta\langle\vec L\cdot\vec S\rangle=\tfrac{3}{2} e o valor de \langle r^{-3}\rangle:
\Delta E =\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{Z e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}} \cdot\frac{Z^{3}}{3\,n^{3}a_{0}^{3}}\cdot\frac{3}{2}.
  • Simplificando os fatores numéricos \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{4}, obtemos
\boxed{\displaystyle \Delta E =\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Z^{4}}{4\,m^{2}c^{2}\,n^{3}a_{0}^{3}}.}

Resposta

\displaystyle \Delta E =\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Z^{4}}{4\,m^{2}c^{2}\,n^{3}a_{0}^{3}}

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