11 - A energia de interação spin-órbita pode ser escrita como
.
b) Para um eletron em um estado
, calcule o deslocamento relativo de energia entre os estados
e
causado por essa interação.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (assunções claras).
- Dá a interação spin-órbita:
- Pede: para um elétron em um estado
( ), calcular o deslocamento relativo de energia entre os estados e causado por essa interação. - Assunção (padrão para esse tipo de questão): o elétron está num átomo hidrogenoide com potencial coulombiano central
onde
é a carga nuclear efetiva (para H,
). Não foi fornecido
no enunciado; mantemos a dependência em
(número quântico principal).
Passo 2
Valores esperados de
em estados de momento total
.
- Fórmula geral para o autovalor de
(em um autestado simultâneo de ):
- Aqui
e . Então: - Para
:
- Para
:
- Para
- Diferença requerida:
Passo 3
Avaliar
para o potencial coulombiano.
- Para
temos
- Logo o operador spin-órbita fica
Passo 4
A expectativa da energia de spin-órbita separa em radial × angular.
- A média em um estado
é
- Portanto a diferença de energia entre
e é
Passo 5
Valor do integral radial
para estados hidrogenoides.
- Fórmula conhecida (resultante da integral radial dos orbitais hidrogenoides) para
:
onde
é o raio de Bohr.
- Para
isto dá
Passo 6
Substituir tudo e simplificar a expressão para
.
- Usando
e o valor de :
- Simplificando os fatores numéricos
, obtemos