11 - A energia de interação spin-órbita pode ser escrita como V_{s o}=\frac{1}{2 m^{2} c^{2}} \frac{1}{r} \frac{1 V}{d r}(\vec{L} \cdot \vec{S}).
a) Mostre que o produto escalar \vec{L} \cdot \vec{S} pode ser expresso em termos dos números quânticos j, l e s como:
\vec{L} \cdot \vec{S}=\frac{\hbar^{2}}{2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]

Passo 1

O enunciado dá a energia de interação spin–órbita V_{so}=\dfrac{1}{2m^{2}c^{2}}\dfrac{1}{r}\dfrac{dV}{dr}(\vec{L}\cdot\vec{S}) e pede para mostrar que o produto escalar \vec{L}\cdot\vec{S} pode ser escrito em termos dos números quânticos j,l,s como
\vec{L}\cdot\vec{S}=\frac{\hbar^{2}}{2}\bigl[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\bigr].
Informações relevantes fornecidas ou usadas:
  • \vec{L} é o operador momento angular orbital e \vec{S} é o operador spin.
  • Define-se o operador momento angular total \vec{J}=\vec{L}+\vec{S}.
  • Os números quânticos l, s e j são tais que estados próprios simultâneos satisfazem valores próprios de \vec{L}^{2}, \vec{S}^{2} e \vec{J}^{2}.
    O objetivo é derivar a relação solicitada passo a passo, explicando cada passo com calma.

Passo 2

Escreve-se o quadrado do momento angular total como a soma de operadores. Primeiro, por definição,
\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}.
Elevar ao quadrado (isto é, tomar o produto escalar consigo mesmo) dá
\vec{J}^{2}=(\vec{L}+\vec{S})\cdot(\vec{L}+\vec{S}).
Expandindo o produto escalar obtemos os termos mistos que contêm \vec{L}\cdot\vec{S}. Note que os componentes de \vec{L} comutam com os de \vec{S} porque \vec{L} age no espaço orbital e \vec{S} no espaço de spin, então não há problemas de ordem ao expandir.

Passo 3

Expandindo explicitamente obtemos a identidade de operadores
\vec{J}^{2}=\vec{L}^{2}+\vec{S}^{2}+2\,\vec{L}\cdot\vec{S}.
Isto resulta apenas da expansão do quadrado e do fato de que \vec{L} e \vec{S} comutam entre si. Agora isolamos \vec{L}\cdot\vec{S}:
\vec{L}\cdot\vec{S}=\frac{1}{2}\bigl(\vec{J}^{2}-\vec{L}^{2}-\vec{S}^{2}\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos essa relação a um estado próprio simultâneo de \vec{J}^{2}, \vec{L}^{2} e \vec{S}^{2}. Em base apropriada existe um vetor de estado |j,l,s,m_{j}\rangle tal que
\vec{J}^{2}|j,l,s,m_{j}\rangle=\hbar^{2}j(j+1)|j,l,s,m_{j}\rangle,
\vec{L}^{2}|j,l,s,m_{j}\rangle=\hbar^{2}l(l+1)|j,l,s,m_{j}\rangle,
\vec{S}^{2}|j,l,s,m_{j}\rangle=\hbar^{2}s(s+1)|j,l,s,m_{j}\rangle.
Aqui: l é o número quântico orbital (inteiro não-negativo), s é o spin (por exemplo s=\tfrac{1}{2} para elétron) e j é o número quântico total que assume valores j=|l-s|,|l-s|+1,\dots,l+s. Os fatores \hbar^{2}j(j+1) etc. são os autovalores conhecidos de operadores angulares ao quadrado.

Passo 5

Ao fazer a equação do Passo 3 atuar sobre |j,l,s,m_{j}\rangle e substituir os autovalores, obtemos o autovalor de \vec{L}\cdot\vec{S}:
\vec{L}\cdot\vec{S}\,|j,l,s,m_{j}\rangle = \frac{1}{2}\bigl(\vec{J}^{2}-\vec{L}^{2}-\vec{S}^{2}\bigr)|j,l,s,m_{j}\rangle = \frac{\hbar^{2}}{2}\bigl[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\bigr]|j,l,s,m_{j}\rangle.
Isso mostra que, quando atuando sobre esses estados próprios, \vec{L}\cdot\vec{S} tem o valor pedido.

Passo 6

Interpretação e exemplo prático para fixar a ideia (útil para a prova). Para um elétron com s=\tfrac{1}{2} os dois possíveis j são j=l+\tfrac{1}{2} e j=l-\tfrac{1}{2}. Substituindo s(s+1)=\tfrac{3}{4} e calculando a diferença dá os autovalores conhecidos:
  • Para j=l+\tfrac{1}{2} a expressão dentro dos colchetes reduz a l, então
\vec{L}\cdot\vec{S}=\frac{\hbar^{2}}{2}l.
  • Para j=l-\tfrac{1}{2} a expressão dentro dos colchetes reduz a - (l+1), então
\vec{L}\cdot\vec{S}=-\frac{\hbar^{2}}{2}(l+1).
Exemplo numérico: para l=1 (orbitais p) tem-se \vec{L}\cdot\vec{S}=\tfrac{\hbar^{2}}{2} para j=\tfrac{3}{2} e \vec{L}\cdot\vec{S}=-\hbar^{2} para j=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\vec{L} \cdot \vec{S}=\dfrac{\hbar^{2}}{2}\bigl[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\bigr]

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