11 - A energia de interação spin-órbita pode ser escrita como
.
a) Mostre que o produto escalar
pode ser expresso em termos dos números quânticos
e
como:
Passo 1
O enunciado dá a energia de interação spin–órbita
e pede para mostrar que o produto escalar
pode ser escrito em termos dos números quânticos
como
Informações relevantes fornecidas ou usadas:
-
é o operador momento angular orbital e é o operador spin. - Define-se o operador momento angular total
. - Os números quânticos
, e são tais que estados próprios simultâneos satisfazem valores próprios de , e .
O objetivo é derivar a relação solicitada passo a passo, explicando cada passo com calma.
Passo 2
Escreve-se o quadrado do momento angular total como a soma de operadores. Primeiro, por definição,
Elevar ao quadrado (isto é, tomar o produto escalar consigo mesmo) dá
Expandindo o produto escalar obtemos os termos mistos que contêm
. Note que os componentes de
comutam com os de
porque
age no espaço orbital e
no espaço de spin, então não há problemas de ordem ao expandir.
Passo 3
Expandindo explicitamente obtemos a identidade de operadores
Isto resulta apenas da expansão do quadrado e do fato de que
e
comutam entre si. Agora isolamos
:
Passo 4
Agora aplicamos essa relação a um estado próprio simultâneo de
,
e
. Em base apropriada existe um vetor de estado
tal que
Aqui:
é o número quântico orbital (inteiro não-negativo),
é o spin (por exemplo
para elétron) e
é o número quântico total que assume valores
. Os fatores
etc. são os autovalores conhecidos de operadores angulares ao quadrado.
Passo 5
Ao fazer a equação do Passo 3 atuar sobre
e substituir os autovalores, obtemos o autovalor de
:
Isso mostra que, quando atuando sobre esses estados próprios,
tem o valor pedido.
Passo 6
Interpretação e exemplo prático para fixar a ideia (útil para a prova). Para um elétron com
os dois possíveis
são
e
. Substituindo
e calculando a diferença dá os autovalores conhecidos:
- Para
a expressão dentro dos colchetes reduz a , então
- Para
a expressão dentro dos colchetes reduz a , então
Exemplo numérico: para
(orbitais
) tem-se
para
e
para
.