[12] Escreva cada um dos seguintes conjuntos de equações em forma matricial. Resolva as equações após obter as matrizes inversas necessárias (se existirem). Se não houver uma inversa, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever o sistema linear em forma matricial e (2) resolver o sistema usando matrizes inversas quando possível. As equações fornecidas são:
Informações relevantes que temos (coeficientes e termos independentes):
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial padrão
Uma forma direta de resolver é obter a inversa
(se existir) e então calcular
Vou usar esse método. Antes, preciso checar se
é invertível — isto depende do determinante de
.
Passo 3
Breve explicação sobre determinante e invertibilidade:
- Para uma matriz quadrada
, a matriz é invertível se, e somente se, . - O determinante de uma
pode ser calculado por desenvolvimento (ex.: ao longo da primeira linha):
Agora aplico isso à nossa
. Usando a primeira linha de
:
Calculo cada menor
:
Substituindo:
Como
, concluímos que
é invertível e podemos calcular
.]
Passo 4
Explicação do método para obter
:
- Uma forma prática para
é usar a matriz dos cofatores, transpor essa matriz (adjunta ou adjugate) e dividir pelo determinante:
onde
é a transposta da matriz de cofatores.
- Um cofator
é dado por , com sendo o determinante do menor que resulta ao eliminar a linha e coluna .
Vou calcular os menores
e os cofatores
para todos os elementos.
Passo 5
Cálculo dos menores e cofatores (mostrando passo a passo):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Portanto a matriz de cofatores é
A adjunta (adjugate)
é a transposta dessa matriz:
Passo 6
Agora a inversa é
Simplificando frações:
Agora calculamos
. Multiplico linha a linha:
Componente 1 (linha 1 ·
):
Componente 2 (linha 2 ·
):
Componente 3 (linha 3 ·
):
Portanto a solução do sistema é
(Se quiser, dá para checar substituindo esses valores nas três equações originais — eles satisfazem todas.)]