[11] Prove que, se \mathbf{X}^{t} \mathbf{X}=\mathbf{X}, então \mathbf{X}=\mathbf{X}^{t}=\mathbf{X}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\mathbf{X}^{t}\mathbf{X}=\mathbf{X}
e pede para provar que
\mathbf{X}=\mathbf{X}^{t}=\mathbf{X}^{2}.
Informações relevantes que podemos extrair do enunciado:
\mathbf{X}^{t}\mathbf{X}
está definida, então \mathbf{X} tem dimensões compatíveis; de fato, para que a igualdade acima faça sentido como igualdade de matrizes, \mathbf{X} deve ser uma matriz quadrada (caso contrário as dimensões dos dois lados não batem). Portanto \mathbf{X} é quadrada e as operações de transposição e multiplicação que usaremos são válidas.

Passo 2

Relembre duas propriedades básicas da transposição (isto é uma mini-aula rápida — anota aí, vai cair na prova em outras questões!):
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}
para quaisquer matrizes A e B cujas dimensões permitam o produto, e
(A^{t})^{t}=A
para qualquer matriz A. Aqui A^{t} indica a transposta de A. Essas propriedades são fáceis de entender: a transposta “inverte” a ordem do produto e aplicar transposta duas vezes volta ao original.

Passo 3

Aplique a transposição à igualdade dada. Tomando transposta em ambos os lados de
\mathbf{X}^{t}\mathbf{X}=\mathbf{X},
obtemos, usando (AB)^{t}=B^{t}A^{t},
(\mathbf{X}^{t}\mathbf{X})^{t}=\mathbf{X}^{t}.
Agora calcule o lado esquerdo usando as propriedades:
(\mathbf{X}^{t}\mathbf{X})^{t}=\mathbf{X}^{t}(\mathbf{X}^{t})^{t}.
Pela propriedade (A^{t})^{t}=A temos (\mathbf{X}^{t})^{t}=\mathbf{X}, logo
(\mathbf{X}^{t}\mathbf{X})^{t}=\mathbf{X}^{t}\mathbf{X}.

Passo 4

Comparando o resultado do Passo 3 com a transposta do lado direito, temos
\mathbf{X}^{t}\mathbf{X}=\mathbf{X}^{t}.
Mas o enunciado também nos dava \mathbf{X}^{t}\mathbf{X}=\mathbf{X}. Igualando essas duas expressões concluímos
\mathbf{X}=\mathbf{X}^{t}.
Isso significa que \mathbf{X} é simétrica. (Pegou a ideia? Ao transpor a igualdade inicial e usar as propriedades, a mesma expressão \mathbf{X}^{t}\mathbf{X} apareceu dos dois lados e daí saímos com a igualdade entre \mathbf{X} e \mathbf{X}^{t}.)

Passo 5

Agora que já sabemos que \mathbf{X}=\mathbf{X}^{t}, podemos voltar à igualdade inicial e substituir \mathbf{X}^{t} por \mathbf{X}. A hipótese \mathbf{X}^{t}\mathbf{X}=\mathbf{X} torna-se
\mathbf{X}\mathbf{X}=\mathbf{X},
ou seja,
\mathbf{X}^{2}=\mathbf{X}.
Isso mostra que \mathbf{X} é idempotente (uma matriz idempotente satisfaz \mathbf{X}^{2}=\mathbf{X}).

Passo 6

Reunindo os resultados: a partir de \mathbf{X}^{t}\mathbf{X}=\mathbf{X} demonstramos primeiro que \mathbf{X}=\mathbf{X}^{t} (simetria) e em seguida que \mathbf{X}^{2}=\mathbf{X} (idempotência). Pronto — missão cumprida!

Resposta

\mathbf{X}=\mathbf{X}^{t}=\mathbf{X}^{2}

Exercícios relacionados