[11] Prove que, se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede para provar que
Informações relevantes que podemos extrair do enunciado:
está definida, então
tem dimensões compatíveis; de fato, para que a igualdade acima faça sentido como igualdade de matrizes,
deve ser uma matriz quadrada (caso contrário as dimensões dos dois lados não batem). Portanto
é quadrada e as operações de transposição e multiplicação que usaremos são válidas.
Passo 2
Relembre duas propriedades básicas da transposição (isto é uma mini-aula rápida — anota aí, vai cair na prova em outras questões!):
para quaisquer matrizes
e
cujas dimensões permitam o produto, e
para qualquer matriz
. Aqui
indica a transposta de
. Essas propriedades são fáceis de entender: a transposta “inverte” a ordem do produto e aplicar transposta duas vezes volta ao original.
Passo 3
Aplique a transposição à igualdade dada. Tomando transposta em ambos os lados de
obtemos, usando
,
Agora calcule o lado esquerdo usando as propriedades:
Pela propriedade
temos
, logo
Passo 4
Comparando o resultado do Passo 3 com a transposta do lado direito, temos
Mas o enunciado também nos dava
. Igualando essas duas expressões concluímos
Isso significa que
é simétrica. (Pegou a ideia? Ao transpor a igualdade inicial e usar as propriedades, a mesma expressão
apareceu dos dois lados e daí saímos com a igualdade entre
e
.)
Passo 5
Agora que já sabemos que
, podemos voltar à igualdade inicial e substituir
por
. A hipótese
torna-se
ou seja,
Isso mostra que
é idempotente (uma matriz idempotente satisfaz
).
Passo 6
Reunindo os resultados: a partir de
demonstramos primeiro que
(simetria) e em seguida que
(idempotência). Pronto — missão cumprida!