4.12 Exercício. Encontre a equação paramétrica do plano que contém a reta que passa pelos pontos
e a reta
Passo 1
O enunciado pede a equação paramétrica do plano que contém duas retas:
a reta r que passa porA=(3,5,3)e B=(1,1,1),
e a reta s: x=1+t, y=2+2t, z=3+t
Conteúdo: geometria no espaço, uso de vetores para definir plano. Vamos precisar dos vetores diretores das retas e de um vetor que ligue um ponto de uma reta a um ponto da outra, para obter dois vetores geradores do plano.
Passo 2
Encontrar os vetores diretores de r e de s:
– Para r, um vetor diretor é
AB=B-A=(1-3,;1-5,;1-3)=(-2,-4,-2)= -2,(1,2,1)
– Para s, o vetor diretor é o coeficiente de t:
v=(1,2,1)
Como AB é múltiplo de (1,2,1), as duas retas são paralelas.
Passo 3
Verificamos que r e s são paralelas e não coincidentes (por exemplo, A não pertence a s). Para definir o plano, precisamos de dois vetores não colineares:
v=(1,2,1), vetor diretor comum.
Um vetor que ligue A a um ponto qualquer de s. Tomemos C em t=0: C=(1,2,3) Então w = AC = C - A = (1-3,;2-5,;3-3)=(-2,-3,0)
v e w são linearmente independentes, servem como geradores do plano.
Passo 4
Como ponto-base do plano, escolhemos A=(3,5,3) e usamos parâmetros lambda e mu. A equação vetorial é