4.12 Exercício. Encontre a equação paramétrica do plano que contém a reta r que passa pelos pontos
l A=(3,5,3), B=(1,1,1),
e a reta
s:l x=1+t y=2+2 t z=3+t

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica do plano que contém duas retas:
  • a reta r que passa por A=(3,5,3)e B=(1,1,1),
  • e a reta s: x=1+t, y=2+2t, z=3+t
Conteúdo: geometria no espaço, uso de vetores para definir plano. Vamos precisar dos vetores diretores das retas e de um vetor que ligue um ponto de uma reta a um ponto da outra, para obter dois vetores geradores do plano.

Passo 2

Encontrar os vetores diretores de r e de s:
– Para r, um vetor diretor é
AB=B-A=(1-3,;1-5,;1-3)=(-2,-4,-2)= -2,(1,2,1)
– Para s, o vetor diretor é o coeficiente de t:
v=(1,2,1)
Como AB é múltiplo de (1,2,1), as duas retas são paralelas.

Passo 3

Verificamos que r e s são paralelas e não coincidentes (por exemplo, A não pertence a s). Para definir o plano, precisamos de dois vetores não colineares:
  1. v=(1,2,1), vetor diretor comum.
  2. Um vetor que ligue A a um ponto qualquer de s. Tomemos C em t=0: C=(1,2,3) Então w = AC = C - A = (1-3,;2-5,;3-3)=(-2,-3,0)
v e w são linearmente independentes, servem como geradores do plano.

Passo 4

Como ponto-base do plano, escolhemos A=(3,5,3) e usamos parâmetros lambda e mu. A equação vetorial é
r(lambda,mu) = A + lambda,v + mu,w = (3,5,3) + lambda,(1,2,1) + mu,(-2,-3,0)
Escrevendo em coordenadas:
x = 3 + lambda - 2mu, y = 5 + 2lambda - 3mu, z = 3 + lambda

Resposta

x = 3 + lambda - 2mu, y = 5 + 2lambda - 3mu, z = 3 + lambda, lambda,muinR

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