Seja n um inteiro positivo e 1 <= b <= n-1. Chamamos ordem de b módulo n ao menor inteiro positivo k para o qual
b^k equiv 1(bmod n)
Por exemplo, a ordem de 2 módulo 31 é igual a 5 pois 2^5 equiv 1(bmod 31), sendo 5 o menor inteiro positivo que satisfaz essa propriedade. Determine:
a ordem de 3 módulo 7;

Passo 1

O enunciado define a ordem de b módulo n como o menor inteiro positivo k tal que
b^kequiv1pmodn
Aqui temos b=3 e n=7. Para resolver, vamos calcular as potências de 3 módulo 7 até encontrar a primeira vez que o resto seja 1.

Passo 2

Calculamos sucessivamente 3^k bmod 7:
3^1 &equiv 3 pmod7, 3^2 = 9 &equiv 2 pmod7, 3^3 = 27 &equiv 6 pmod7, 3^4 = 81 &equiv 4 pmod7, 3^5 = 243 &equiv 5 pmod7, 3^6 = 729 &equiv 1 pmod7
Observe que só em k=6 obtemos resto 1, e nenhum k < 6 fornece 3^k equiv 1 pmod7.

Resposta

A ordem de 3 módulo 7 é 6.

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