P 12.7-5 Uma fonte trifásica ligada em Y alimenta simultaneamente duas cargas trifásicas equilibradas. A primeira carga está ligada em \Delta e consome uma potência total de 39 kVA com um fator de potência de 0,7 atrasado. A segunda carga está ligada em Y e consome 15 kW com um fator de potência de 0,21 adiantado. A linha de transmissão tem uma impedância de 0,038 +j 0,072 \Omega por fase. Determine a amplitude da tensão de linha da fonte para que as cargas sejam alimentadas com uma tensão de linha de 208 V rms.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a amplitude (valor de pico) da tensão de linha da fonte para que as cargas sejam alimentadas com uma tensão de linha de 208\\ \text{V} rms no ponto das cargas.
Dados fornecidos (todos por fase/trifásico equilibrado):
\begin{aligned} &\text{Tensão de linha no ponto das cargas: }V_{LL,\text{cargas}}=208\\ \text{V (rms)}\\[4pt] &\text{Carga 1: ligação em }\Delta,\quad S_{1,\text{total}}=39\\ \text{kVA},\quad \text{pf}_1=0{,}7\\ \text{(atrasado)}\\[4pt] &\text{Carga 2: ligação em }Y,\quad P_{2}=15\\ \text{kW},\quad \text{pf}_2=0{,}21\\ \text{(adiantado)}\\[4pt] &\text{Impedância da linha por fase: }Z_{\ell}=0{,}038+j\,0{,}072\\ \Omega \end{aligned}ãçãçãâ
O que se busca exatamente: amplitude (valor de pico) da tensão de linha da fonte V_{LL,\text{fonte, pico}} tal que a tensão de linha nas cargas seja 208\\ \text{V rms}.]

Passo 2

Converter a potência aparente e fator de potência da carga \Delta em potência complexa \,S_1.
Conceito rápido: para potência aparente |S| com fator de potência \cos\varphi, a potência ativa é P=|S|\cos\varphi e a reativa é Q=|S|\sin\varphi. Se o fator é “atrasado” a reatividade é indutiva ( Q>0).
Aplicando:
\begin{aligned} |S_1|&=39\\ \text{kVA}=39000\\ \text{VA},\\[4pt] P_1&=39000\cdot 0{,}7=27300\\ \text{W},\\[4pt] \sin\varphi_1&=\sqrt{1-0{,}7^2}=\sqrt{0{,}51}\approx0{,}714177,\\[4pt] Q_1&=39000\cdot 0{,}714177\approx27854\\ \text{VAr}. \end{aligned}
Portanto
S_1 = P_1 + jQ_1 \approx 27300 + j\,27854\\ \text{VA}.]

Passo 3

Converter a carga em Y (segunda carga) em potência complexa S_2.
Conceito rápido: dado P e fator de potência \cos\varphi, |S|=P/\cos\varphi e Q=|S|\sin\varphi. Se o fator é “adiantado”, Q<0.
Aplicando:
\begin{aligned} P_2&=15000\\ \text{W},\\[4pt] \cos\varphi_2&=0{,}21\quad\Rightarrow\quad |S_2|=\frac{15000}{0{,}21}\approx71428{,}571\\ \text{VA},\\[4pt] \sin\varphi_2&=\sqrt{1-0{,}21^2}\approx0{,}9777,\\[4pt] Q_2&=|S_2|\sin\varphi_2\approx71428{,}571\cdot0{,}9777\approx69853\\ \text{VAr}, \end{aligned}
como é adiantado: Q_2 é negativo. Portanto
S_2 = P_2 + jQ_2 \approx 15000 - j\,69853\\ \text{VA}.]

Passo 4

Somar as potências complexas para obter a potência total entregue pela fonte.
\begin{aligned} S_{\text{tot}}&=S_1+S_2\\[4pt] &\approx (27300+ j\,27854) + (15000 - j\,69853)\\[4pt] &\approx 42300 - j\,41999\\ \text{VA}. \end{aligned}
Interpretação rápida: potência ativa total P_{\text{tot}}\approx42300\\ \text{W} e reativa total Q_{\text{tot}}\approx-41999\\ \text{VAr} (neto capacitivo).]

Passo 5

Calcular a corrente de linha (por fase) que a fonte fornece, usando a relação trifásica balanceada.
Fórmula útil (sistema trifásico balanceado, tensões linha-linha):
S_{\text{tot}}=\sqrt{3}\,V_{LL,\text{cargas}}\,I_{\text{L}}^{*},
onde I_{\text{L}} é a corrente de linha (fasor RMS) e ^{*} indica conjugado. Rearranjando:
I_{\text{L}}=\frac{S_{\text{tot}}^{*}}{\sqrt{3}\,V_{LL,\text{cargas}}}.
Aplicando números (usar V_{LL,\text{cargas}}=208\\ \text{V}):
\begin{aligned} \sqrt{3}\,V_{LL,\text{cargas}}&=1{,}7320508\cdot208\approx360{,}2666,\\[4pt] S_{\text{tot}}^{*}&\approx 42300 + j\,41999. \end{aligned}
Logo
I_{\text{L}}\approx\frac{42300 + j\,41999}{360{,}2666}\approx 117{,}42 + j\,116{,}58\\ \text{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_{\text{L}}|\approx165{,}41\\ \text{A},\qquad \angle I_{\text{L}}\approx 44{,}6^\circ.
Comentário amigável: esse ângulo positivo significa que a corrente lidera a tensão (comportamento líquido capacitivo), tudo consistente com Q_{\text{tot}}<0.]

Passo 6

Calcular a queda de tensão por fase na linha: V_{\text{drop}}=I_{\text{L}}\cdot Z_{\ell}.
Primeiro, representamos Z_{\ell}:
Z_{\ell}=0{,}038+j\,0{,}072\\ \Omega.
Magnitude e ângulo (só para entendimento):
|Z_{\ell}|\approx0{,}08143\\ \Omega,\qquad \angle Z_{\ell}\approx62{,}7^\circ.
Multiplicando (usar a forma polar ajuda): V_{\text{drop}}=|I_{\text{L}}||Z_{\ell}|\angle(\angle I_{\text{L}}+\angle Z_{\ell}).
Numericamente:
|V_{\text{drop}}|\approx165{,}41\cdot0{,}08143\approx13{,}47\\ \text{V},
\angle V_{\text{drop}}\approx 44{,}6^\circ+62{,}7^\circ\approx107{,}3^\circ.
Em forma retangular (para somar com a tensão de fase nas cargas):
V_{\text{drop}}\approx -3{,}93 + j\,12{,}89\\ \text{V}.

Passo 7

Obter a tensão de fase no ponto das cargas e somar a queda para achar a tensão de fase na fonte.
Para sistema Y equilibrado, tensão de fase nas cargas é
V_{\varphi,\text{cargas}}=\frac{V_{LL,\text{cargas}}}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ.
Calculando:
V_{\varphi,\text{cargas}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\approx120{,}12\angle 0^\circ\\ \text{V}.
Agora a tensão de fase na fonte é
V_{\varphi,\text{fonte}}=V_{\varphi,\text{cargas}}+V_{\text{drop}}.
Substituindo os valores retangulares:
V_{\varphi,\text{fonte}}\approx(120{,}12+0j)+(-3{,}93 + j\,12{,}89)\approx116{,}19 + j\,12{,}89\\ \text{V}.
Magnitude e ângulo:
|V_{\varphi,\text{fonte}}|\approx116{,}93\\ \text{V},\qquad \angle V_{\varphi,\text{fonte}}\approx6{,}3^\circ.
Pequena interpretação: a tensão de fase da fonte tem magnitude levemente menor do que V_{\varphi,\text{cargas}} na componente real, mas com componente imaginária positiva — por isso o módulo fica próximo de 116{,}9\\ \text{V}.

Passo 8

Converter a tensão de fase da fonte em tensão de linha da fonte (rms) e depois em amplitude (valor de pico).
Em sistema trifásico balanceado a relação entre magnitude de tensão de linha e magnitude de tensão de fase é:
V_{LL,\text{fonte (rms)}}=\sqrt{3}\,|V_{\varphi,\text{fonte}}|.
Aplicando:
V_{LL,\text{fonte (rms)}}\approx\sqrt{3}\cdot116{,}93\approx202{,}46\\ \text{V (rms)}.
Finalmente, amplitude (valor de pico) é
V_{LL,\text{fonte (pico)}}=V_{LL,\text{fonte (rms)}}\sqrt{2}\approx202{,}46\cdot\sqrt{2}\approx286{,}4\\ \text{V}.

Resposta

286{,}4\\ \text{V}

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