P 12.3-2 Uma fonte trifásica equilibrada ligada em Y alimenta um grande edifício de escritórios através de uma linha de transmissão de quatro fios. O circuito opera a 60 Hz . As tensões de fase da fonte são \mathbf{V}_{\mathrm{a}}=120 \angle 0^{\circ} \mathrm{V} \mathrm{rms}, \mathbf{V}_{\mathrm{b}}=120 \angle-120^{\circ} \mathrm{V} \mathrm{rms} \mathrm{e} \mathbf{V}_{\mathrm{c}}=120 \angle 120^{\circ} \mathrm{V} rms. Todos os fios de transmissão, incluindo o fio neutro, têm uma resistência de 2 \Omega; a carga equilibrada ligada em Y tem uma resistência de 10 \Omega em série com uma indutância de 100 mH . Determine a tensão de linha e a corrente de fase na carga.

Passo 1

O enunciado dá um sistema trifásico equilibrado ligado em Y e pede duas coisas: a tensão de linha (isto é, a tensão entre duas fases no lado da carga) e a corrente de fase na carga. As informações relevantes do enunciado são:
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Tensões de fase na fonte (tensão fase-neutro, RMS): \mathbf{V}_{a}^{(s)}=120\angle 0^\circ\\ \mathrm{V},\quad \mathbf{V}_{b}^{(s)}=120\angle -120^\circ\\ \mathrm{V},\quad \mathbf{V}_{c}^{(s)}=120\angle 120^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Todos os fios de transmissão (cada condutor de fase e o neutro) têm resistência 2\\ \Omega cada.
  • Carga ligada em estrela (Y) e equilibrada em cada fase: resistência R=10\\ \Omega em série com indutância L=100\\ \mathrm{mH}=0{,}1\\ \mathrm{H}.
  • Pediu-se: (1) a tensão de linha (no lado da carga) e (2) a corrente de fase na carga.
Observação útil (a usar nos passos seguintes): a carga é equilibrada, portanto as correntes de fase têm mesmo módulo e deslocamentos de fase entre si de 120^\circ; além disso, em carga equilibrada o corrente no fio neutro é nula, então não haverá queda de tensão no condutor neutro — assim o único efeito da linha é a resistência série em cada fase.

Passo 2

Calcular a reatância indutiva e a impedância de cada fase da carga (ensinando a física por trás):
  • A reatância da indutância é dada por X_L=\omega L, onde \omega=2\pi f e L é a indutância. Aqui f=60\\ \mathrm{Hz} e L=0{,}1\\ \mathrm{H}. Então \omega=2\pi(60)=120\pi\\ \mathrm{rad/s},
X_L=\omega L = 120\pi \cdot 0{,}1 = 12\pi\\ \Omega \approx 37{,}6991\\ \Omega.
Explicação rápida: a reatância é a “resistência” que o indutor opõe à corrente alternada; cresce com a frequência e com a indutância.
  • A impedância de cada fase da carga (série R e jX_L) é Z_{\text{carga}} = R + jX_L = 10 + j(12\pi)\\ \Omega.Vamos manter também o módulo e o ângulo dessa impedância: |Z_{\text{carga}}|=\sqrt{10^2+(12\pi)^2}\approx 39{,}0129\\ \Omega,
\angle Z_{\text{carga}}=\arctan\!\left(\frac{12\pi}{10}\right)\approx 75{,}06^\circ.
Interpretação: o ângulo positivo indica que a corrente na carga atrasa a tensão (comportamento indutivo).

Passo 3

Montar o circuito por fase e somar as impedâncias série (ensinando o princípio):
  • Cada fase vê em série a resistência do fio de transmissão e a impedância de fase da carga. A resistência do fio por fase é R_{\text{fio}}=2\\ \Omega. Como a carga é equilibrada, o fio neutro não carrega corrente resultante, então sua resistência não afeta os cálculos.
  • Assim, a impedância total por fase é Z_{\text{tot}} = R_{\text{fio}} + Z_{\text{carga}} = 2 + (10 + j12\pi) = 12 + j12\pi\\ \Omega.Calculemos módulo e ângulo de Z_{\text{tot}}: |Z_{\text{tot}}|=\sqrt{12^2+(12\pi)^2}\approx 39{,}5660\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{12\pi}{12}\right)=\arctan(\pi)\approx 72{,}65^\circ.
Observação pedagógica: impedâncias em série somam como números complexos; o módulo e o ângulo resultam da soma das partes real e imaginária.

Passo 4

Calcular a corrente de fase na carga usando a lei de Ohm em fasores (a fórmula e o significado das variáveis):
  • A lei de Ohm para fasores diz que a corrente é a tensão fasorial dividida pela impedância total: \mathbf{I}_{\text{fase}}=\frac{\mathbf{V}_{\text{fase (fonte)}}}{Z_{\text{tot}}}.Para a fase a, \mathbf{V}_{a}^{(s)}=120\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}. Logo \mathbf{I}_a=\frac{120\angle 0^\circ}{|Z_{\text{tot}}|\angle \angle Z_{\text{tot}}} =\frac{120}{39{,}5660}\angle(0^\circ-72{,}65^\circ).Calculando: |\mathbf{I}_a|\approx \frac{120}{39{,}5660}\approx 3{,}0338\\ \mathrm{A},
\angle \mathbf{I}_a \approx -72{,}65^\circ.
Portanto
\mathbf{I}_a \approx 3{,}0338\angle -72{,}65^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Como a carga é equilibrada, as outras correntes de fase são defasadas de -120^\circ e +120^\circ em relação a \mathbf{I}_a: \mathbf{I}_b = 3{,}0338\angle(-72{,}65^\circ -120^\circ)=3{,}0338\angle -192{,}65^\circ,
\mathbf{I}_c = 3{,}0338\angle(-72{,}65^\circ +120^\circ)=3{,}0338\angle 47{,}35^\circ.
(Se preferir podemos acrescentar 360^\circ para normalizar ângulos, por exemplo -192{,}65^\circ é equivalente a 167{,}35^\circ.)
Explicação: o módulo da corrente vem da divisão de magnitudes e o ângulo é a diferença dos ângulos (tensão menos ângulo da impedância): corrente atrasa a tensão por cerca de 72{,}65^\circ.

Passo 5

Calcular a tensão de fase na carga (tensão fase-neutro no lado da carga) — isto mostra como obter a tensão real que aparece na carga:
  • A tensão na carga por fase é \mathbf{V}_{\text{carga, fase}} = \mathbf{I}_{\text{fase}}\; Z_{\text{carga}}.Em módulo/ângulo: |\mathbf{V}_{\text{carga, fase}}| = |\mathbf{I}|\;|Z_{\text{carga}}| \approx 3{,}0338 \cdot 39{,}0129 \approx 118{,}39\\ \mathrm{V},
\angle \mathbf{V}_{\text{carga, fase}} = \angle \mathbf{I} + \angle Z_{\text{carga}} \approx -72{,}65^\circ + 75{,}06^\circ \approx 2{,}41^\circ.
Portanto, por exemplo,
\mathbf{V}_{a}^{(\text{carga})}\approx 118{,}39\angle 2{,}41^\circ\\ \mathrm{V}.
Observação: esse valor é um pouco menor que 120\\ \mathrm{V} porque há queda de tensão nos fios (a resistência de 2\\ \Omega por fase causa uma queda de ~6 V em módulo).

Passo 6

Determinar a tensão de linha (tensão fase-fase no lado da carga) a partir da tensão de fase:
  • Para um sistema equilibrado em Y, a tensão linha-fase (fase-neutro) e a tensão linha-linha (entre duas fases quaisquer) têm a relação |V_{\text{linha-linha}}|=\sqrt{3}\;|V_{\text{fase}}|e existe um deslocamento de 30^\circ nos ângulos (por exemplo V_{ab}= \sqrt{3}\,V_{\text{fase}}\angle(\theta_{\text{fase}}+30^\circ) quando usamos a convenção adequada).
  • Usando o módulo que encontramos para a tensão de fase na carga: |V_{\text{linha-linha (carga)}}| = \sqrt{3}\cdot 118{,}39 \approx 1{,}73205\cdot 118{,}39 \approx 204{,}99\\ \mathrm{V}.
  • Por exemplo, a tensão entre as fases a e b no lado da carga (phasor) vale \mathbf{V}_{ab}^{(\text{carga})}\approx 204{,}99\angle(2{,}41^\circ+30^\circ)=204{,}99\angle 32{,}41^\circ\\ \mathrm{V}.(Essa escolha de referência de ângulo é consistente com o deslocamento de 30^\circ entre tensão de fase e tensão de linha em sistema Y equilibrado.)
Breve interpretação: a tensão de linha diminuiu ligeiramente em relação ao valor ideal sem perdas (o ideal sem perdas seria \sqrt{3}\cdot 120\approx 207{,}85\\ \mathrm{V}) por causa da queda de tensão na linha.

Passo 7

Resumo numérico final (arredondamentos razoáveis para a prova):
  • Corrente de fase (módulo e ângulo): \mathbf{I}_a \approx 3{,}0338\angle -72{,}65^\circ\\ \mathrm{A},
\mathbf{I}_b \approx 3{,}0338\angle -192{,}65^\circ\\ \mathrm{A},
\mathbf{I}_c \approx 3{,}0338\angle 47{,}35^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Tensão de fase na carga: \mathbf{V}_{a}^{(\text{carga})}\approx 118{,}39\angle 2{,}41^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Tensão de linha (fase-fase) na carga: |\mathbf{V}_{\text{linha-linha (carga)}}|\approx 204{,}99\\ \mathrm{V},e, como exemplo, \mathbf{V}_{ab}^{(\text{carga})}\approx 204{,}99\angle 32{,}41^\circ\\ \mathrm{V}.

Resposta

Tensão de linha (carga): \mathbf{V}_{ab}^{(\text{carga})}\approx 204{,}99\angle 32{,}41^\circ\\ \mathrm{V} \n
Correntes de fase na carga: \mathbf{I}_a\approx 3{,}0338\angle -72{,}65^\circ\\ \mathrm{A},\\ \mathbf{I}_b\approx 3{,}0338\angle -192{,}65^\circ\\ \mathrm{A},\\ \mathbf{I}_c\approx 3{,}0338\angle 47{,}35^\circ\\ \mathrm{A}

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