P 12.3-2 Uma fonte trifásica equilibrada ligada em Y alimenta um grande edifício de escritórios através de uma linha de transmissão de quatro fios. O circuito opera a 60 Hz . As tensões de fase da fonte são
rms. Todos os fios de transmissão, incluindo o fio neutro, têm uma resistência de
; a carga equilibrada ligada em Y tem uma resistência de
em série com uma indutância de 100 mH . Determine a tensão de linha e a corrente de fase na carga.
Passo 1
O enunciado dá um sistema trifásico equilibrado ligado em Y e pede duas coisas: a tensão de linha (isto é, a tensão entre duas fases no lado da carga) e a corrente de fase na carga. As informações relevantes do enunciado são:
- Frequência:
. - Tensões de fase na fonte (tensão fase-neutro, RMS):
- Todos os fios de transmissão (cada condutor de fase e o neutro) têm resistência
cada. - Carga ligada em estrela (Y) e equilibrada em cada fase: resistência
em série com indutância . - Pediu-se: (1) a tensão de linha (no lado da carga) e (2) a corrente de fase na carga.
Observação útil (a usar nos passos seguintes): a carga é equilibrada, portanto as correntes de fase têm mesmo módulo e deslocamentos de fase entre si de
; além disso, em carga equilibrada o corrente no fio neutro é nula, então não haverá queda de tensão no condutor neutro — assim o único efeito da linha é a resistência série em cada fase.
Passo 2
Calcular a reatância indutiva e a impedância de cada fase da carga (ensinando a física por trás):
- A reatância da indutância é dada por
, onde e é a indutância. Aqui e . Então
Explicação rápida: a reatância é a “resistência” que o indutor opõe à corrente alternada; cresce com a frequência e com a indutância.
- A impedância de cada fase da carga (série
e ) é Vamos manter também o módulo e o ângulo dessa impedância:
Interpretação: o ângulo positivo indica que a corrente na carga atrasa a tensão (comportamento indutivo).
Passo 3
Montar o circuito por fase e somar as impedâncias série (ensinando o princípio):
- Cada fase vê em série a resistência do fio de transmissão e a impedância de fase da carga. A resistência do fio por fase é
. Como a carga é equilibrada, o fio neutro não carrega corrente resultante, então sua resistência não afeta os cálculos. - Assim, a impedância total por fase é
Calculemos módulo e ângulo de :
Observação pedagógica: impedâncias em série somam como números complexos; o módulo e o ângulo resultam da soma das partes real e imaginária.
Passo 4
Calcular a corrente de fase na carga usando a lei de Ohm em fasores (a fórmula e o significado das variáveis):
- A lei de Ohm para fasores diz que a corrente é a tensão fasorial dividida pela impedância total:
Para a fase , . Logo Calculando:
Portanto
- Como a carga é equilibrada, as outras correntes de fase são defasadas de
e em relação a :
(Se preferir podemos acrescentar
para normalizar ângulos, por exemplo
é equivalente a
.)
Explicação: o módulo da corrente vem da divisão de magnitudes e o ângulo é a diferença dos ângulos (tensão menos ângulo da impedância): corrente atrasa a tensão por cerca de
.
Passo 5
Calcular a tensão de fase na carga (tensão fase-neutro no lado da carga) — isto mostra como obter a tensão real que aparece na carga:
- A tensão na carga por fase é
Em módulo/ângulo:
Portanto, por exemplo,
Observação: esse valor é um pouco menor que
porque há queda de tensão nos fios (a resistência de
por fase causa uma queda de ~6 V em módulo).
Passo 6
Determinar a tensão de linha (tensão fase-fase no lado da carga) a partir da tensão de fase:
- Para um sistema equilibrado em Y, a tensão linha-fase (fase-neutro) e a tensão linha-linha (entre duas fases quaisquer) têm a relação
e existe um deslocamento de nos ângulos (por exemplo quando usamos a convenção adequada). - Usando o módulo que encontramos para a tensão de fase na carga:
- Por exemplo, a tensão entre as fases
e no lado da carga (phasor) vale (Essa escolha de referência de ângulo é consistente com o deslocamento de entre tensão de fase e tensão de linha em sistema Y equilibrado.)
Breve interpretação: a tensão de linha diminuiu ligeiramente em relação ao valor ideal sem perdas (o ideal sem perdas seria
) por causa da queda de tensão na linha.
Passo 7
Resumo numérico final (arredondamentos razoáveis para a prova):
- Corrente de fase (módulo e ângulo):
- Tensão de fase na carga:
- Tensão de linha (fase-fase) na carga:
e, como exemplo,
Resposta
Tensão de linha (carga):
\n
Correntes de fase na carga:
Correntes de fase na carga: