Exercício 13: Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} t e^{-|t|} \operatorname{sen}(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da integral imprópria
I=\int_{-\infty}^{+\infty} t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função integranda é t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t).
  • A integração é em todo o eixo real, de -\infty a +\infty.
  • Precisamos tratar a integral como imprópria (limites infinitos) e verificar convergência quando necessário.

Passo 2

Analisando a paridade da função para simplificar a integral: veja as paridades individuais.
  • A função t é ímpar, pois t(-t)=-t.
  • A função e^{-|t|} é par, pois |-t|=|t|.
  • A função \operatorname{sen}(2t) é ímpar, pois \operatorname{sen}(-2t)=-\operatorname{sen}(2t).
    O produto de paridades ímpar \times par \times ímpar é par (porque ímpar·ímpar = par, e par·par = par). Portanto a integranda é uma função par:
t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\\ \text{é par.}é

Passo 3

Como a integranda é par, podemos transformar a integral sobre (-\infty,\infty) em duas vezes a integral sobre (0,\infty):
I=2\int_{0}^{\infty} t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Para t\ge 0 temos |t|=t, logo
I=2\int_{0}^{\infty} t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Agora resta calcular J=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt e depois I=2J.

Passo 4

Vamos calcular J por integração por partes. Primeiro escrevo a integral como limite:
J=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} t\,e^{-t}\,\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Escolho em integração por partes u=t (de modo que du=dt) e dv=e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt. Precisamos então de uma primitiva v de e^{-t}\operatorname{sen}(2t). Ou seja, calcular
v(t)=\int e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt.

Passo 5

Para achar v(t)=\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt com \alpha=-1 e \beta=2, uso o método padrão (integração por partes duas vezes) para obter uma fórmula fechada. Vou derivar a fórmula geral rapidamente (passos fundamentais):
Considere I_1=\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt e I_2=\int e^{\alpha t}\cos(\beta t)\,dt.
Fazendo integração por partes em I_1 (tomando u=\sin(\beta t), dv=e^{\alpha t}dt) e novamente em I_2, chega-se ao sistema linear que leva à solução
\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\big(\alpha\sin(\beta t)-\beta\cos(\beta t)\big)+C.
Aqui \alpha e \beta são constantes; a ideia-chave é que integrar por partes duas vezes produz I_1 em termos de si mesmo e permite resolver linearmente.

Passo 6

Aplicando a fórmula com \alpha=-1 e \beta=2:
v(t)=\int e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt =\frac{e^{-t}}{(-1)^{2}+2^{2}}\big((-1)\operatorname{sen}(2t)-2\cos(2t)\big)+C.
Como (-1)^{2}+2^{2}=1+4=5, obtemos
v(t)=-\frac{e^{-t}}{5}\big(\operatorname{sen}(2t)+2\cos(2t)\big)+C.
Para integração por partes definida (de 0 a R) podemos tomar C=0 e usar essa expressão para v.

Passo 7

Volto à integração por partes para J:
\int_{0}^{R} t\,e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt =\Big[t\,v(t)\Big]_{0}^{R}-\int_{0}^{R} v(t)\,dt.
Substituindo v(t)=-\dfrac{e^{-t}}{5}(\operatorname{sen}(2t)+2\cos(2t)), o termo de borda é
\Big[t\,v(t)\Big]_{0}^{R}=t\left(-\frac{e^{-t}}{5}(\operatorname{sen}(2t)+2\cos(2t))\right)\Big|_{0}^{R}.
Quando R\to\infty, t e^{-t}\to 0, então o termo no infinito é 0. No t=0 temos t\,v(t)=0. Logo o termo de borda total é 0. Assim
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt =-\int_{0}^{\infty} v(t)\,dt =\frac{1}{5}\int_{0}^{\infty} e^{-t}\big(\operatorname{sen}(2t)+2\cos(2t)\big)\,dt.

Passo 8

Agora calculo as integrais simples que restaram. São integrais do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(bt)\,dt e \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt com s=1 e b=2. Recordando (ou derivando por integração por partes) as fórmulas:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(bt)\,dt=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},\qquad \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
válidas para s>0. Aqui s=1 e b=2, logo
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt=\frac{2}{1^{2}+2^{2}}=\frac{2}{5},
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(2t)\,dt=\frac{1}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1}{5}.

Passo 9

Substituindo esses valores em J:
J=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{5}+2\cdot\frac{1}{5}\right) =\frac{1}{5}\left(\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\right) =\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5} =\frac{4}{25}.
Finalmente, lembrando que I=2J,
I=2\cdot\frac{4}{25}=\frac{8}{25}.

Resposta

\dfrac{8}{25}

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