A função integranda é t\,e^{-|t|}\,\operatorname{sen}(2t).
A integração é em todo o eixo real, de -\infty a +\infty.
Precisamos tratar a integral como imprópria (limites infinitos) e verificar convergência quando necessário.
Passo 2
Analisando a paridade da função para simplificar a integral: veja as paridades individuais.
A função t é ímpar, pois t(-t)=-t.
A função e^{-|t|} é par, pois |-t|=|t|.
A função \operatorname{sen}(2t) é ímpar, pois \operatorname{sen}(-2t)=-\operatorname{sen}(2t).
O produto de paridades ímpar \times par \times ímpar é par (porque ímpar·ímpar = par, e par·par = par). Portanto a integranda é uma função par:
Escolho em integração por partes u=t (de modo que du=dt) e dv=e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt. Precisamos então de uma primitiva v de e^{-t}\operatorname{sen}(2t). Ou seja, calcular
v(t)=\int e^{-t}\operatorname{sen}(2t)\,dt.
Passo 5
Para achar v(t)=\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt com \alpha=-1 e \beta=2, uso o método padrão (integração por partes duas vezes) para obter uma fórmula fechada. Vou derivar a fórmula geral rapidamente (passos fundamentais):
Considere I_1=\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)\,dt e I_2=\int e^{\alpha t}\cos(\beta t)\,dt.
Fazendo integração por partes em I_1 (tomando u=\sin(\beta t), dv=e^{\alpha t}dt) e novamente em I_2, chega-se ao sistema linear que leva à solução
Aqui \alpha e \beta são constantes; a ideia-chave é que integrar por partes duas vezes produz I_1 em termos de si mesmo e permite resolver linearmente.
Agora calculo as integrais simples que restaram. São integrais do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(bt)\,dt e \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt com s=1 e b=2. Recordando (ou derivando por integração por partes) as fórmulas: