Exercício 13: Determine o valor das integrais
\quad \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) d t, x=\frac{d}{d t} \operatorname{sinc}(t)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,dt
onde está dado que x(t)=\dfrac{d}{dt}\operatorname{sinc}(t). Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
  • x(t) é a derivada em relação a t da função \operatorname{sinc}(t).
  • A integral é sobre toda a reta real, ou seja, é uma integral imprópria do tipo (-\infty,+\infty).
  • Preciso encontrar o valor numérico dessa integral (há exatamente uma resposta correta).
Observação: vou trabalhar com a definição usual de \operatorname{sinc}(t) que aparece em teoria de sinais; de forma geral a conclusão abaixo vale tanto para \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} quanto para \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t}, pois ambas têm as mesmas propriedades essenciais para a resolução.

Passo 2

Vou recordar e provar uma propriedade fundamental da \operatorname{sinc} que vou usar: os limites nos infinities são zero. Escolho a definição padrão \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} para explicação (a versão \sin t/t é análoga).
Prova do limite:
  • Para t\neq 0 temos \left|\sin(\pi t)\right|\le 1. Então
\left|\operatorname{sinc}(t)\right| = \left|\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right| \le \frac{1}{\left|\pi t\right|}.
  • À medida que |t|\to\infty, o lado direito \dfrac{1}{|\pi t|}\to 0. Pelo princípio do confronto (squeeze theorem),
\lim_{t\to\pm\infty}\operatorname{sinc}(t)=0.
Também sabemos que \operatorname{sinc} é contínua em toda a reta se definirmos \operatorname{sinc}(0)=1 (limite em zero é 1), e é diferenciável em \mathbb{R}.

Passo 3

Vou usar o Teorema Fundamental do Cálculo em sua forma adequada para integrais em intervalos finitos: se f é absolutamente contínua em [a,b] (uma condição satisfeita quando f é continuamente diferenciável), então
\int_{a}^{b} f'(t)\,dt = f(b)-f(a).
No nosso caso, f(t)=\operatorname{sinc}(t) é diferenciável (logo absolutamente contínua) em qualquer intervalo finito [A,B], portanto para quaisquer A<B vale
\int_{A}^{B} \frac{d}{dt}\operatorname{sinc}(t)\,dt = \operatorname{sinc}(B)-\operatorname{sinc}(A).

Passo 4

Agora trato a integral imprópria como limite de integrais em intervalos finitos. Pela definição de integral imprópria:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d}{dt}\operatorname{sinc}(t)\,dt = \lim_{A\to -\infty,\;B\to +\infty} \int_{A}^{B} \frac{d}{dt}\operatorname{sinc}(t)\,dt.
Pelo resultado do Passo 3 cada integral interna é \operatorname{sinc}(B)-\operatorname{sinc}(A). Logo
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d}{dt}\operatorname{sinc}(t)\,dt = \lim_{A\to -\infty,\;B\to +\infty} \big(\operatorname{sinc}(B)-\operatorname{sinc}(A)\big).

Passo 5

Agora avalio o limite das extremidades usando o resultado do Passo 2: \lim_{t\to\pm\infty}\operatorname{sinc}(t)=0. Portanto
\lim_{A\to -\infty,\;B\to +\infty} \big(\operatorname{sinc}(B)-\operatorname{sinc}(A)\big) = 0 - 0 = 0.
Isto mostra que a integral imprópria converge e que seu valor é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados