Utilize as tabelas adequadas e determine:
(2,5) f(t) para F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+4 s+4\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o valor de \,f(t)\, no instante \,t=2,5\, (ou seja, calcular \,f(2,5)\,) sabendo que a transformada de Laplace de \,f(t)\, é
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+4s+4\right)}.
Informações dadas importantes:
F(s)=\frac{4(s+15)}{s\left(s^{2}+4s+4\right)}.
O objetivo final: obter f(t) (através da transformada inversa) e então avaliar f em t=2,5.

Passo 2

Estratégia e tabelas que vamos usar (importante saber o que cada fórmula significa):
  • A ideia é fazer a transformada inversa de F(s) por frações parciais e usar pares básicos da tabela de Laplace.
  • Pares básicos que usaremos:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{s+a},
\mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=\frac{1}{(s+a)^{2}}.
Aqui t é a variável de tempo (a função original), s é a variável da transformada (complexa). Esses pares dizem que, por exemplo, se você tem uma razão racional com denominador s você recupera uma constante; se tem denominador (s+a) recupera um decaimento exponencial e^{-a t}; e se tem (s+a)^2 recupera t e^{-a t}.

Passo 3

Simplificar a expressão de F(s) identificando fatores do denominador:
s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}.
Portanto
F(s)=\frac{4(s+15)}{s(s+2)^{2}}.

Passo 4

Fazer decomposição em frações parciais apropriada para um pólo simples em s=0 e pólo duplo em s=-2. Assumimos a forma
\frac{4(s+15)}{s(s+2)^{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}}.
Explicação rápida: para um fator linear simples s usamos termo A/s; para fator linear repetido (s+2)^{2} usamos termos B/(s+2) e C/(s+2)^2.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por s(s+2)^{2} para equacionar os numeradores:
4(s+15)=A(s+2)^{2}+B\,s(s+2)+C\,s.
Expandindo os termos do lado direito:
A(s^{2}+4s+4)+B(s^{2}+2s)+C s.
Agrupando coeficientes por potências de s:
(A+B)s^{2}+(4A+2B+C)s+4A.
Como o lado esquerdo é 4s+60 (pois 4(s+15)=4s+60), igualamos coeficientes:
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de s^{1}: 4A+2B+C=4.
  • Termo constante: 4A=60.
Resolvendo:
4A=60 \Rightarrow A=15.
Então B=-A=-15.
E C=4-2A=4-2\cdot15=4-30=-26.

Passo 6

Agora escrevemos F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=\frac{15}{s}-\frac{15}{s+2}-\frac{26}{(s+2)^{2}}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo usando a tabela do Passo 2:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{15}{s}\right\}=15.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-15}{s+2}\right\}=-15e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-26}{(s+2)^{2}}\right\}=-26\,t\,e^{-2t}.
Portanto a função no tempo é
f(t)=15-15e^{-2t}-26\,t\,e^{-2t}.

Passo 7

Preparar a avaliação em t=2,5:
substituímos t=2,5 em f(t). Primeiro calcule o expoente:
-2t=-2\cdot 2,5=-5,
então e^{-2t}=e^{-5}.
Também 26\cdot t=26\cdot 2,5=65.
Substituindo na expressão de f(t) e agrupando os termos com e^{-5} temos
f(2,5)=15-15e^{-5}-65e^{-5}=15-(15+65)e^{-5}=15-80e^{-5}.

Resposta

f(2,5)=15-80e^{-5}

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