Utilize as tabelas adequadas e determine:
para
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o valor de
no instante
(ou seja, calcular
) sabendo que a transformada de Laplace de
é
Informações dadas importantes:
O objetivo final: obter
(através da transformada inversa) e então avaliar
em
.
Passo 2
Estratégia e tabelas que vamos usar (importante saber o que cada fórmula significa):
- A ideia é fazer a transformada inversa de
por frações parciais e usar pares básicos da tabela de Laplace. - Pares básicos que usaremos:
Aqui
é a variável de tempo (a função original),
é a variável da transformada (complexa). Esses pares dizem que, por exemplo, se você tem uma razão racional com denominador
você recupera uma constante; se tem denominador
recupera um decaimento exponencial
; e se tem
recupera
.
Passo 3
Simplificar a expressão de
identificando fatores do denominador:
Portanto
Passo 4
Fazer decomposição em frações parciais apropriada para um pólo simples em
e pólo duplo em
. Assumimos a forma
Explicação rápida: para um fator linear simples
usamos termo
; para fator linear repetido
usamos termos
e
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para equacionar os numeradores:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando coeficientes por potências de
:
Como o lado esquerdo é
(pois
), igualamos coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo:
Então
.
E .
E
Passo 6
Agora escrevemos
com os coeficientes encontrados:
Aplicando a transformada inversa termo a termo usando a tabela do Passo 2:
-
. -
. -
.
Portanto a função no tempo é
Passo 7
Preparar a avaliação em
:
substituímos em
. Primeiro calcule o expoente:
substituímos
então
.
Também .
Substituindo na expressão de e agrupando os termos com
temos
Também
Substituindo na expressão de