observações, obteve-se
e
. Teste, se a média difere do valor ideal.
Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de 50 MPa . Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula
e hipótese alternativa
. Uma amostra de
peças apresentou
e
. Use
.
Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de 50 MPa . Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula
Passo 1
Enunciados e dados fornecidos:
-
Primeiro enunciado: “Temos
observações, obteve-se e . Teste, se a média difere do valor ideal.”
Dados listados:, , . Pergunta: testar se a média difere do “valor ideal” (hipótese bilateral). -
Segundo enunciado: “Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de
MPa. Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula MPa e hipótese alternativa MPa. Uma amostra de peças apresentou MPa e MPa. Use .”
Dados listados:MPa, MPa, , MPa, MPa, .
Observação importante (dado no enunciado 1): o “valor ideal” que serve como
não foi especificado numericamente no enunciado. Sem esse valor não é possível calcular estatística de teste, nem decidir. Não inventarei esse valor — explico o que falta e sigo resolvendo o segundo problema completo.
Passo 2
Resposta sobre o primeiro enunciado (porque falta informação):
Para executar um teste de hipótese sobre a média é obrigatório conhecer o valor hipotético da média sob , isto é o
. No enunciado 1 o texto pede “difere do valor ideal” mas não diz qual é esse valor ideal (por exemplo
ou outro). Como esse número não foi dado, não há como calcular a estatística
, nem encontrar
-valor ou comparar com o valor crítico. Portanto o teste não pode ser realizado com os dados fornecidos. Se você souber qual é o valor ideal (o
), me diga ou substitua e eu resolvo passo a passo.
Para executar um teste de hipótese sobre a média é obrigatório conhecer o valor hipotético da média sob
Passo 3
Início da solução do segundo enunciado: formulando as hipóteses e escolhendo o teste.
Hipóteses (já dadas):
Hipóteses (já dadas):
É um teste unilateral à direita (queremos verificar se a média é maior que
). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é relativamente pequena (
), usamos o teste t de Student.
Passo 4
Explicação do teste t e da estatística usada (aula rápida):
A estatística de teste para comparar uma média amostral com um valor hipotético quando é desconhecida é
A estatística de teste para comparar uma média amostral com um valor hipotético quando
Aqui:
-
é a média amostral (a média observada na amostra). -
é a média sob a hipótese nula (o valor que queremos testar). -
é o desvio-padrão amostral (estimativa de ). -
é o tamanho da amostra.
A razão divide a diferença observada pela “erro padrão” da média, transformando a diferença em unidades de desvio-padrão; sob essa estatística segue a distribuição com graus de liberdade (se a amostra vem de uma população aproximadamente normal).
Passo 5
Cálculo do erro padrão da média (passo a passo):
Dados: MPa e
. Primeiro calculamos
:
Dados:
Agora o erro padrão da média é
Expliquei: este número indica quanto, em média, a média amostral varia ao redor da verdadeira média populacional, medido em MPa.
Passo 6
Cálculo da estatística
(passo a passo):
A diferença entre a média amostral e é
A diferença entre a média amostral e
Agora aplicamos a fórmula:
Interpretação: o valor observado da média está aproximadamente
erros-padrão acima do valor hipotético
MPa.
Passo 7
Graus de liberdade e valor crítico (como decidir):
Os graus de liberdade são .
Como o teste é unilateral à direita e , precisamos do valor crítico
. Usando uma tabela t (ou calculadora), obtemos aproximadamente
Os graus de liberdade são
Como o teste é unilateral à direita e
Regra de decisão: rejeitamos
se
.
Passo 8
Comparação da estatística com o crítico e decisão:
Calculamos e o crítico é
.
Como , rejeitamos
ao nível de significância
.
Calculamos
Como
Passo 9
Cálculo aproximado do
-valor (explicação e aproximação):
Para um teste unilateral à direita, o -valor é
Para um teste unilateral à direita, o
Consultando tabela ou interpolações da distribuição t com
: sabemos que
corresponde a
(unilateral) e
corresponde a
(unilateral). Nosso
está entre esses valores, então o
-valor está entre
e
; uma boa aproximação é
Como
, a conclusão (rejeitar
) é consistente pelo critério do
-valor também.
Passo 10
Interpretação final (contexto prático) e observações sobre pressupostos:
Conclusão prática: há evidência estatística, ao nível de significância de , de que a nova liga aumentou a resistência média acima de
MPa — isto é, os dados suportam a afirmação do fabricante.
Pressupostos: para a validade do teste usamos a suposição de que a amostra vem de uma população aproximadamente normal. Com isto é importante; se houver fortes evidências de assimetria/extremos, seria prudente verificar normalidade ou usar métodos robustos.
Conclusão prática: há evidência estatística, ao nível de significância de
Pressupostos: para a validade do teste usamos a suposição de que a amostra vem de uma população aproximadamente normal. Com
Resposta
Não é possível testar o primeiro enunciado: o “valor ideal” (
) não foi fornecido.
Para o segundo enunciado: rejeita-se ; há evidência a
de que
MPa (estatística
,
).
Para o segundo enunciado: rejeita-se