n=12 observações, obteve-se \bar{x}=82,5^{\circ} \mathrm{C} e s=4^{\circ} \mathrm{C}. Teste, se a média difere do valor ideal.
Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de 50 MPa . Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula \mu=50 \mathrm{MPa} e hipótese alternativa \mu>50 \mathrm{MPa}. Uma amostra de n=20 peças apresentou \bar{x}=53,2 \mathrm{MPa} e s=5,1 \mathrm{MPa}. Use \alpha=0,05.

Passo 1

Enunciados e dados fornecidos:
  1. Primeiro enunciado: “Temos n=12 observações, obteve-se \bar{x}=82,5^\circ\mathrm{C} e s=4^\circ\mathrm{C}. Teste, se a média difere do valor ideal.”
    Dados listados: \,n=12, \bar{x}=82,5^\circ\mathrm{C}, s=4^\circ\mathrm{C}. Pergunta: testar se a média difere do “valor ideal” (hipótese bilateral).
  2. Segundo enunciado: “Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de 50 MPa. Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula \mu=50 MPa e hipótese alternativa \mu>50 MPa. Uma amostra de n=20 peças apresentou \bar{x}=53,2 MPa e s=5,1 MPa. Use \alpha=0,05.”
    Dados listados: \,H_0:\mu=50 MPa, \,H_a:\mu>50 MPa, \,n=20, \bar{x}=53,2 MPa, s=5,1 MPa, \alpha=0,05.
Observação importante (dado no enunciado 1): o “valor ideal” que serve como \mu_0 não foi especificado numericamente no enunciado. Sem esse valor não é possível calcular estatística de teste, nem decidir. Não inventarei esse valor — explico o que falta e sigo resolvendo o segundo problema completo.

Passo 2

Resposta sobre o primeiro enunciado (porque falta informação):
Para executar um teste de hipótese sobre a média é obrigatório conhecer o valor hipotético da média sob H_0, isto é o \mu_0. No enunciado 1 o texto pede “difere do valor ideal” mas não diz qual é esse valor ideal (por exemplo \mu_0=80^\circ\mathrm{C} ou outro). Como esse número não foi dado, não há como calcular a estatística t, nem encontrar p-valor ou comparar com o valor crítico. Portanto o teste não pode ser realizado com os dados fornecidos. Se você souber qual é o valor ideal (o \mu_0), me diga ou substitua e eu resolvo passo a passo.

Passo 3

Início da solução do segundo enunciado: formulando as hipóteses e escolhendo o teste.
Hipóteses (já dadas):
H_0: \mu = 50\\ \text{MPa}
H_a: \mu > 50\\ \text{MPa}
É um teste unilateral à direita (queremos verificar se a média é maior que 50). Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é relativamente pequena ( n=20), usamos o teste t de Student.

Passo 4

Explicação do teste t e da estatística usada (aula rápida):
A estatística de teste para comparar uma média amostral com um valor hipotético quando \sigma é desconhecida é
t \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (a média observada na amostra).
  • \mu_0 é a média sob a hipótese nula (o valor que queremos testar).
  • s é o desvio-padrão amostral (estimativa de \sigma).
  • n é o tamanho da amostra.
    A razão divide a diferença observada pela “erro padrão” da média s/\sqrt{n}, transformando a diferença em unidades de desvio-padrão; sob H_0 essa estatística segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade (se a amostra vem de uma população aproximadamente normal).

Passo 5

Cálculo do erro padrão da média (passo a passo):
Dados: \,s=5,1 MPa e \,n=20. Primeiro calculamos \sqrt{n}:
\sqrt{n} = \sqrt{20} \approx 4,4721.
Agora o erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5,1}{\sqrt{20}} \approx \frac{5,1}{4,4721} \approx 1,1402\\ \text{MPa}.
Expliquei: este número indica quanto, em média, a média amostral varia ao redor da verdadeira média populacional, medido em MPa.

Passo 6

Cálculo da estatística t (passo a passo):
A diferença entre a média amostral e \mu_0 é
\bar{x}-\mu_0 = 53,2 - 50 = 3,2\\ \text{MPa}.
Agora aplicamos a fórmula:
t \;=\; \frac{3,2}{1,1402} \approx 2,8056 \approx 2,806.
Interpretação: o valor observado da média está aproximadamente 2,806 erros-padrão acima do valor hipotético 50 MPa.

Passo 7

Graus de liberdade e valor crítico (como decidir):
Os graus de liberdade são \,df = n-1 = 20-1 = 19.
Como o teste é unilateral à direita e \alpha=0,05, precisamos do valor crítico t_{1-\alpha,\,df} = t_{0{,}95,\,19}. Usando uma tabela t (ou calculadora), obtemos aproximadamente
t_{0{,}95,\,19} \approx 1,729.
Regra de decisão: rejeitamos H_0 se t > 1,729.

Passo 8

Comparação da estatística com o crítico e decisão:
Calculamos t \approx 2,806 e o crítico é 1,729.
Como 2,806 > 1,729, rejeitamos H_0 ao nível de significância \alpha=0,05.

Passo 9

Cálculo aproximado do p-valor (explicação e aproximação):
Para um teste unilateral à direita, o p-valor é
p = P\big(T_{19} > 2,806\big).
Consultando tabela ou interpolações da distribuição t com df=19: sabemos que t=2,861 corresponde a p\approx 0,005 (unilateral) e t=2,539 corresponde a p\approx 0,01 (unilateral). Nosso t=2,806 está entre esses valores, então o p-valor está entre 0,005 e 0,01; uma boa aproximação é
p \approx 0,006.
Como p \approx 0,006 < \alpha=0,05, a conclusão (rejeitar H_0) é consistente pelo critério do p-valor também.

Passo 10

Interpretação final (contexto prático) e observações sobre pressupostos:
Conclusão prática: há evidência estatística, ao nível de significância de 5\%, de que a nova liga aumentou a resistência média acima de 50 MPa — isto é, os dados suportam a afirmação do fabricante.
Pressupostos: para a validade do teste usamos a suposição de que a amostra vem de uma população aproximadamente normal. Com n=20 isto é importante; se houver fortes evidências de assimetria/extremos, seria prudente verificar normalidade ou usar métodos robustos.

Resposta

Não é possível testar o primeiro enunciado: o “valor ideal” ( \mu_0) não foi fornecido.
Para o segundo enunciado: rejeita-se H_0; há evidência a \alpha=0{,}05 de que \mu>50 MPa (estatística t\approx 2{,}806, p\approx 0{,}006).

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