A resistência de resistores segue distribuição aproximadamente normal. O valor nominal é 100 \Omega. Uma amostra de 10 resistores apresentou média 97,5 \Omega e desvio padriào amostral 4 \Omega. Teste, ao nível do 1 \%, se a média difere do valor nominal.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos:
  • Pede: testar, ao nível de significância de 1\%, se a média da resistência dos resistores difere do valor nominal 100\\ \Omega.
  • Dados da amostra: n = 10,\quad \bar{x} = 97,5\\ \Omega,\quad s = 4\\ \Omega.
  • Nível de significância: \alpha = 0,01.
  • Tipo de teste: como o enunciado pergunta se a média “difere” (não diz só maior ou menor), é um teste bilateral (duas caudas).

Passo 2

Formulação das hipóteses em termos matemáticos:
H_0:\\ \mu = 100
H_1:\\ \mu \neq 100
Explicação rápida: H_0 diz que a média verdadeira \mu é o valor nominal 100\\ \Omega. H_1 é a hipótese alternativa de que a média é diferente (pode ser menor ou maior).

Passo 3

Qual teste usar e por quê — a fórmula do teste:
  • Não conhecemos a variância populacional verdadeira e a amostra é pequena ( n=10), então usamos o teste t de Student para uma amostra.
  • Estatística de teste (t de Student): t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}onde:
    • \bar{x} é a média amostral,
    • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui 100),
    • s é o desvio padrão amostral,
    • n é o tamanho da amostra,
    • t segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade se H_0 for verdadeira.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão da média (erro padrão) e da estatística t:
  • Primeiro calcule \sqrt{n}: \sqrt{n}=\sqrt{10}\approx 3,1623.
  • Erro padrão da média: \mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{10}}\approx \frac{4}{3,1623}\approx 1,265.
  • Agora a estatística t: t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\mathrm{SE}}=\frac{97,5-100}{1,265}=\frac{-2,5}{1,265}\approx -1,976.
Interpretação: obtivemos t\approx -1,976. O sinal negativo só indica que a média amostral está abaixo de 100; para o teste bilateral comparamos o valor absoluto |t|.

Passo 5

Valor crítico e decisão pelo teste de duas caudas:
  • Graus de liberdade: df = n-1 = 9.
  • Para teste bilateral com \alpha = 0,01, cada cauda tem probabilidade \alpha/2 = 0,005. O valor crítico é t_{0,005,9}.
  • Consultando tabela de t ou calculadora, obtemos aproximadamente t_{0,005,9}\approx 3,250.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se |t|>t_{0,005,9}.
  • Comparando: |t| \approx 1,976 < 3,250. Logo não rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.

Passo 6

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação:
  • O p-valor (bilateral) é 2 vezes a probabilidade da cauda direita para t=1,976 com df=9.
  • Usando tabela/interpolação ou calculadora, obtemos aproximadamente \text{p-valor}\approx 0,074.
  • Interpretação do p-valor: a probabilidade de observar uma estatística tão extrema quanto a observada (ou mais) supondo que H_0 é verdadeira é cerca de 7,4\%. Como 0,074>0,01, isso confirma que não há evidência suficiente para rejeitar H_0 ao nível de 1\%.

Passo 7

Conclusão final e interpretação prática:
  • Embora a média amostral seja 97,5\\ \Omega (ou seja, 2,5\\ \Omega abaixo do nominal), essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de 1\%. Em linguagem de prova: falhamos em rejeitar H_0.
  • Em termos práticos: com a amostra de 10 resistores e variabilidade observada, não temos evidência forte o suficiente (ao nível de 1\%) para afirmar que a média difere de 100\\ \Omega.

Resposta

Não rejeitamos H_0. Não há evidência, ao nível de 1\%, de que a média difira de 100\\ \Omega.

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