Considere o experimento de lançar uma moeda honesta quatro vezes. Seja X : A variável aleatória que conta o número de faces cara. Responda:
a. Qual a distribuição considerada neste experimento?
b. Qual o valor de p ?
c. Qual a
e a
?
a. Qual a distribuição considerada neste experimento?
b. Qual o valor de p ?
c. Qual a
Passo 1
O enunciado diz: lançamos uma moeda honesta quatro vezes. Seja
a variável aleatória que conta o número de caras (heads) obtidas nas quatro jogadas. Precisamos responder três coisas:
a. Qual a distribuição considerada neste experimento?
b. Qual o valor de ?
c. Qual e
?
a. Qual a distribuição considerada neste experimento?
b. Qual o valor de
c. Qual
Informações dadas: a moeda é honesta (isso significa que cara e coroa têm mesma chance em cada lançamento) e o número de lançamentos é
.
Passo 2
Por que tipo de distribuição modelar
? Vou explicar passo a passo (sem pular etapas): para usarmos uma distribuição padrão, precisamos verificar quatro condições que definem a distribuição binomial:
- Há um número fixo de ensaios: aqui são
lançamentos. - Cada ensaio tem apenas dois resultados relevantes (sucesso/fracasso): aqui “cara” (sucesso) ou “coroa” (fracasso).
- A probabilidade de sucesso é a mesma em cada ensaio: pela hipótese da moeda honesta, a probabilidade de cara é constante.
- Os ensaios são independentes (o resultado de um lançamento não afeta os outros): para uma moeda ideal isso vale.
Como todas as quatro condições valem,
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
(probabilidade de cara). A função de massa de probabilidade (PMF) da binomial é:
Aqui
é o número de formas de escolher quais
lançamentos deram cara (combinações).
Passo 3
Qual é
? “Moeda honesta” significa que cara e coroa têm igual probabilidade em cada lançamento, portanto
Ou seja, a probabilidade de obter cara em qualquer lançamento isolado é
.
Passo 4
Cálculo de
— procedimento e intuição (para usar facilmente na prova). Uma maneira muito prática é escrever
como soma de variáveis indicadoras dos lançamentos:
defina como a variável que vale
se o
-ésimo lançamento der cara e
caso contrário, para
. Então
defina
Para cada
temos
. Usando linearidade da esperança (que vale sempre, mesmo sem independência),
Substituindo
,
Intuição: em média, metade dos lançamentos será cara, logo
.
Passo 5
Cálculo de
— procedimento e intuição. Como os
são independentes (lançamentos independentes), a variância de
é a soma das variâncias:
Para uma variável indicadora
com
vale
Logo
Substituindo
,
Intuição: a variância mede a dispersão em torno da média; com
lançamentos e probabilidade
a dispersão é
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: a probabilidade de exatamente
caras é, usando a PMF,
Isso ajuda a ver como usar a fórmula na prova quando pedirem probabilidades específicas.
Resposta
(a)
com PMF
(b)
(c) e
(b)
(c)