Considere o experimento de lançar uma moeda honesta quatro vezes. Seja X : A variável aleatória que conta o número de faces cara. Responda:
a. Qual a distribuição considerada neste experimento?
b. Qual o valor de p ?
c. Qual a E(X) e a \operatorname{Var}(X) ?

Passo 1

O enunciado diz: lançamos uma moeda honesta quatro vezes. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras (heads) obtidas nas quatro jogadas. Precisamos responder três coisas:
a. Qual a distribuição considerada neste experimento?
b. Qual o valor de p?
c. Qual \mathbb{E}(X) e \operatorname{Var}(X)?
Informações dadas: a moeda é honesta (isso significa que cara e coroa têm mesma chance em cada lançamento) e o número de lançamentos é 4.

Passo 2

Por que tipo de distribuição modelar X? Vou explicar passo a passo (sem pular etapas): para usarmos uma distribuição padrão, precisamos verificar quatro condições que definem a distribuição binomial:
  1. Há um número fixo de ensaios: aqui são 4 lançamentos.
  2. Cada ensaio tem apenas dois resultados relevantes (sucesso/fracasso): aqui “cara” (sucesso) ou “coroa” (fracasso).
  3. A probabilidade de sucesso é a mesma em cada ensaio: pela hipótese da moeda honesta, a probabilidade de cara é constante.
  4. Os ensaios são independentes (o resultado de um lançamento não afeta os outros): para uma moeda ideal isso vale.
Como todas as quatro condições valem, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=4 e p (probabilidade de cara). A função de massa de probabilidade (PMF) da binomial é:
P(X=k)=\binom{4}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{4-k},\qquad k=0,1,2,3,4.
Aqui \binom{4}{k} é o número de formas de escolher quais k lançamentos deram cara (combinações).

Passo 3

Qual é p? “Moeda honesta” significa que cara e coroa têm igual probabilidade em cada lançamento, portanto
p=\frac{1}{2}.
Ou seja, a probabilidade de obter cara em qualquer lançamento isolado é 1/2.

Passo 4

Cálculo de \mathbb{E}(X) — procedimento e intuição (para usar facilmente na prova). Uma maneira muito prática é escrever X como soma de variáveis indicadoras dos lançamentos:
defina Y_i como a variável que vale 1 se o i-ésimo lançamento der cara e 0 caso contrário, para i=1,\dots,4. Então
X = Y_1+Y_2+Y_3+Y_4.
Para cada Y_i temos \mathbb{E}(Y_i)=1\cdot P(Y_i=1)+0\cdot P(Y_i=0)=p. Usando linearidade da esperança (que vale sempre, mesmo sem independência),
\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y_1)+\mathbb{E}(Y_2)+\mathbb{E}(Y_3)+\mathbb{E}(Y_4)=4p.
Substituindo p=\tfrac{1}{2},
\mathbb{E}(X)=4\cdot \tfrac{1}{2}=2.
Intuição: em média, metade dos lançamentos será cara, logo 4/2=2.

Passo 5

Cálculo de \operatorname{Var}(X) — procedimento e intuição. Como os Y_i são independentes (lançamentos independentes), a variância de X é a soma das variâncias:
\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y_1)+\operatorname{Var}(Y_2)+\operatorname{Var}(Y_3)+\operatorname{Var}(Y_4).
Para uma variável indicadora Y_i com P(Y_i=1)=p vale
\operatorname{Var}(Y_i)=p(1-p).
Logo
\operatorname{Var}(X)=4\cdot p(1-p).
Substituindo p=\tfrac{1}{2},
\operatorname{Var}(X)=4\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}=4\cdot \tfrac{1}{4}=1.
Intuição: a variância mede a dispersão em torno da média; com 4 lançamentos e probabilidade 1/2 a dispersão é 1.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: a probabilidade de exatamente 2 caras é, usando a PMF,
P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\binom{4}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^4=6\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{6}{16}=\tfrac{3}{8}.
Isso ajuda a ver como usar a fórmula na prova quando pedirem probabilidades específicas.

Resposta

(a) \text{Binomial}(n=4,p) com PMF \displaystyle P(X=k)=\binom{4}{k}p^{k}(1-p)^{4-k},\\ k=0,\dots,4.
(b) p=\tfrac{1}{2}.
(c) \mathbb{E}(X)=2 e \operatorname{Var}(X)=1.

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