B.5.12 Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada dado a seguir, tanto analítica como computacionalmente:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Sistema em malha fechada (função de transferência de resposta ao degrau unitário dada já como a função de transferência entre entrada e saída):
- O enunciado pede: obter o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação (resposta ao degrau unitário), tanto analítica quanto computacionalmente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de transferência tem denominador quadrático e numerador constante — é um sistema de segunda ordem canônico.
- Para a resposta ao degrau unitário, o valor final esperado (ganho em DC) pode ser verificado avaliando a função em
: . Portanto o valor de regime final para um degrau unitário é .
Passo 2
Identificar os parâmetros canônicos do sistema de segunda ordem. A forma padrão de um sistema de segunda ordem é
Comparando com
obtemos as igualdades
Resolvem-se:
Como
, o sistema é subamortecido (underdamped) e a resposta terá oscilações, pico e sobressinal.
Também definimos a frequência amortecida (damped natural frequency)
Passo 3
Escrever a resposta temporal ao degrau unitário de forma padrão (inversa da transformada de Laplace). Para um sistema de segunda ordem subamortecido a resposta ao degrau unitário é
onde o ângulo
satisfa z
(ou
). Explicando a fórmula (rápido “mini-aula”):
- A solução de um sistema homogêneo de segunda ordem subamortecido é uma exponencial amortecida vezes uma oscilação
ou . - A resposta ao degrau é a soma da resposta de regime permanente (aqui
) e de uma resposta transitória amortecida que se anula no infinito. - As constantes e fase vêm da decomposição em frações parciais da função
; a forma acima é a forma já conhecida e muito usada em controle.
No nosso caso particular os parâmetros na fórmula valem:
Passo 4
Tempo de pico
. Definição: é o instante do primeiro máximo da resposta transitória (primeiro pico). Para o segundo-ordem subamortecido o máximo ocorre quando a derivada de
zera pela primeira vez; isso leva à fórmula fechada conhecida
Derivação curta (intuição): o termo oscilatório tem argumento
; o primeiro máximo da senoide amortecida acontece quando
levando à expressão acima para o primeiro pico efetivo da saída em relação ao ponto em que a senoide cruza. Substituindo:
Passo 5
Máximo sobressinal (overshoot)
. Definição: fração (ou percentual) pela qual o pico máximo ultrapassa o valor de regime final. Para sistema de segunda ordem:
Explicando a fórmula:
- A amplitude do termo exponencial no primeiro pico é dada por
. - Com as fórmulas simplificadas fica a expressão acima (é uma fórmula padrão que deriva da avaliação do termo exponencial no instante
).
No nosso caso:
portanto
Como fração:
. Em porcentagem:
O valor do pico absoluto (altura do primeiro pico) é
Passo 6
Tempo de subida
. Observações sobre definições: existem várias definições de tempo de subida. A mais usada em sistemas subamortecidos é o tempo que a resposta leva para ir de zero até o primeiro cruzamento do valor de regime final (0→100%). Para sistemas subamortecidos, existe a fórmula
Breve justificativa: o primeiro instante em que a componente oscilatória faz com que a resposta alcance o valor final ocorre quando
, daí
.
Para nossos parâmetros:
logo
Observação: algumas referências usam tempo de subida 10–90%; nesse caso o valor seria diferente. Aqui usei a definição 0→100% (comum em sistemas subamortecidos).
Passo 7
Tempo de acomodação (settling time)
. Definição e escolha de critério: normalmente usa-se critério de banda de
(às vezes
). Para um sistema subamortecido a aproximação prática é
e
Cálculo com nossos números. Primeiro calcule
:
Portanto
Vou adotar o critério de
como padrão quando a expressão “tempo de acomodação” não especifica; mas já dei também o valor para
.
Passo 8
Verificação computacional (cálculos numéricos finais — “computacionalmente” entendido como avaliar numericamente as fórmulas analíticas):
-
. -
. -
. -
.
Avaliações numéricas:
- Tempo de subida:
- Tempo de pico:
- Máximo sobressinal (fração e porcentagem):
- Pico absoluto:
- Tempo de acomodação (2%):
(para 5%:
).
Pequena nota prática: se fosse pedido “computacionalmente” no sentido de simular com MATLAB/Python, os números acima seriam obtidos com comandos como step() e analisando tempo de pico e settling time; os valores numéricos coincidem com as fórmulas usadas.
Resposta
Tempo de subida
Tempo de pico
Máximo sobressinal (ou
); pico absoluto
Tempo de acomodação (2%): (para 5%:
)
Tempo de pico
Máximo sobressinal
Tempo de acomodação (2%):