B.5.12 Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada dado a seguir, tanto analítica como computacionalmente:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2 s+36}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Sistema em malha fechada (função de transferência de resposta ao degrau unitário dada já como a função de transferência entre entrada e saída):
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2s+36}.
  • O enunciado pede: obter o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação (resposta ao degrau unitário), tanto analítica quanto computacionalmente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de transferência tem denominador quadrático e numerador constante — é um sistema de segunda ordem canônico.
  • Para a resposta ao degrau unitário, o valor final esperado (ganho em DC) pode ser verificado avaliando a função em s=0: \dfrac{36}{36}=1. Portanto o valor de regime final para um degrau unitário é 1.

Passo 2

Identificar os parâmetros canônicos do sistema de segunda ordem. A forma padrão de um sistema de segunda ordem é
\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}.
Comparando com \dfrac{36}{s^{2}+2s+36} obtemos as igualdades
\omega_n^{2}=36,\qquad 2\zeta\omega_n=2.
Resolvem-se:
\omega_n=6,\qquad \zeta=\frac{2}{2\omega_n}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx0{,}1667.
Como \zeta<1, o sistema é subamortecido (underdamped) e a resposta terá oscilações, pico e sobressinal.
Também definimos a frequência amortecida (damped natural frequency)
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=6\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}}=6\sqrt{\tfrac{35}{36}}=\sqrt{35}\approx5{,}91608.

Passo 3

Escrever a resposta temporal ao degrau unitário de forma padrão (inversa da transformada de Laplace). Para um sistema de segunda ordem subamortecido a resposta ao degrau unitário é
c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_n t}\sin\bigl(\omega_d t+\varphi\bigr),
onde o ângulo \varphi satisfa z \cos\varphi=\zeta (ou \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)). Explicando a fórmula (rápido “mini-aula”):
  • A solução de um sistema homogêneo de segunda ordem subamortecido é uma exponencial amortecida vezes uma oscilação \sin ou \cos.
  • A resposta ao degrau é a soma da resposta de regime permanente (aqui 1) e de uma resposta transitória amortecida que se anula no infinito.
  • As constantes e fase vêm da decomposição em frações parciais da função \dfrac{36}{s(s^{2}+2s+36)}; a forma acima é a forma já conhecida e muito usada em controle.
No nosso caso particular os parâmetros na fórmula valem:
\zeta=\tfrac{1}{6},\qquad \omega_n=6,\qquad \omega_d=\sqrt{35},\qquad \varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{6}\right)\approx1{,}40335\\ \text{rad}.

Passo 4

Tempo de pico t_p. Definição: é o instante do primeiro máximo da resposta transitória (primeiro pico). Para o segundo-ordem subamortecido o máximo ocorre quando a derivada de c(t) zera pela primeira vez; isso leva à fórmula fechada conhecida
t_p=\frac{\pi}{\omega_d}.
Derivação curta (intuição): o termo oscilatório tem argumento \omega_d t+\varphi; o primeiro máximo da senoide amortecida acontece quando \omega_d t+\varphi=\pi levando à expressão acima para o primeiro pico efetivo da saída em relação ao ponto em que a senoide cruza. Substituindo:
t_p=\frac{\pi}{\sqrt{35}}\approx\frac{3{,}14159265}{5{,}91608}\approx0{,}5313\\ \text{s}.

Passo 5

Máximo sobressinal (overshoot) M_p. Definição: fração (ou percentual) pela qual o pico máximo ultrapassa o valor de regime final. Para sistema de segunda ordem:
M_p=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Explicando a fórmula:
  • A amplitude do termo exponencial no primeiro pico é dada por \exp(-\zeta \omega_n t_p).
  • Com as fórmulas simplificadas fica a expressão acima (é uma fórmula padrão que deriva da avaliação do termo exponencial no instante t_p).
No nosso caso:
\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{(1/6)\pi}{\sqrt{35/36}}=\frac{\pi}{\sqrt{35}},
portanto
M_p=e^{-\pi/\sqrt{35}}\approx e^{-0{,}531314}\approx0{,}588\quad(\text{fração}) .çã
Como fração: M_p\approx0{,}588. Em porcentagem:
M_p\approx58{,}8\% .
O valor do pico absoluto (altura do primeiro pico) é
c_{\text{pico}}=1+M_p\approx1{,}588.

Passo 6

Tempo de subida t_r. Observações sobre definições: existem várias definições de tempo de subida. A mais usada em sistemas subamortecidos é o tempo que a resposta leva para ir de zero até o primeiro cruzamento do valor de regime final (0→100%). Para sistemas subamortecidos, existe a fórmula
t_r=\frac{\pi-\varphi}{\omega_d}, \qquad\text{onde }\varphi=\operatorname{arccos}(\zeta).
Breve justificativa: o primeiro instante em que a componente oscilatória faz com que a resposta alcance o valor final ocorre quando \omega_d t+\varphi=\pi, daí t=(\pi-\varphi)/\omega_d.
Para nossos parâmetros:
\varphi=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{6}\right)\approx1{,}40335\\ \text{rad},
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t_r=\frac{\pi-1{,}40335}{\sqrt{35}}\approx\frac{1{,}73824}{5{,}91608}\approx0{,}2938\\ \text{s}.
Observação: algumas referências usam tempo de subida 10–90%; nesse caso o valor seria diferente. Aqui usei a definição 0→100% (comum em sistemas subamortecidos).

Passo 7

Tempo de acomodação (settling time) t_s. Definição e escolha de critério: normalmente usa-se critério de banda de 2\% (às vezes 5\%). Para um sistema subamortecido a aproximação prática é
t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}\quad(\text{critério }2\%),é
e
t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}\quad(\text{critério }5\%).é
Cálculo com nossos números. Primeiro calcule \zeta\omega_n:
\zeta\omega_n=\frac{1}{6}\cdot 6=1.
Portanto
t_s(2\%)\approx\frac{4}{1}=4{,}0\\ \text{s}, \qquad t_s(5\%)\approx\frac{3}{1}=3{,}0\\ \text{s}.
Vou adotar o critério de 2\% como padrão quando a expressão “tempo de acomodação” não especifica; mas já dei também o valor para 5\%.

Passo 8

Verificação computacional (cálculos numéricos finais — “computacionalmente” entendido como avaliar numericamente as fórmulas analíticas):
  • \omega_n=6.
  • \zeta=1/6\approx0{,}1666667.
  • \omega_d=\sqrt{35}\approx5{,}91608.
  • \varphi=\operatorname{arccos}(1/6)\approx1{,}40335\\ \text{rad}.
Avaliações numéricas:
  • Tempo de subida:
t_r=\frac{\pi-\varphi}{\omega_d}\approx\frac{3{,}14159265-1{,}4033479}{5{,}91608}\approx0{,}2938\\ \text{s}.
  • Tempo de pico:
t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{3{,}14159265}{5{,}91608}\approx0{,}5313\\ \text{s}.
  • Máximo sobressinal (fração e porcentagem):
M_p=e^{-\pi/\sqrt{35}}\approx e^{-0{,}531314}\approx0{,}588\quad\Rightarrow\quad58{,}8\%.
  • Pico absoluto:
c_{\text{pico}}=1+M_p\approx1{,}588.
  • Tempo de acomodação (2%):
t_s(2\%)\approx4{,}0\\ \text{s}.
(para 5%: t_s(5\%)\approx3{,}0\\ \text{s}).
Pequena nota prática: se fosse pedido “computacionalmente” no sentido de simular com MATLAB/Python, os números acima seriam obtidos com comandos como step() e analisando tempo de pico e settling time; os valores numéricos coincidem com as fórmulas usadas.

Resposta

Tempo de subida t_r\approx0{,}2938\\ \text{s}
Tempo de pico t_p\approx0{,}5313\\ \text{s}
Máximo sobressinal M_p\approx0{,}588 (ou 58{,}8\%); pico absoluto c_{\text{pico}}\approx1{,}588
Tempo de acomodação (2%): t_s\approx4{,}0\\ \text{s} (para 5%: t_s\approx3{,}0\\ \text{s})

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