E6.2 Um sistema possui uma equação característica
0 . Usando o critério de Routh-Hurwitz mostre que o sistema é instável.
Passo 1
O enunciado pede para usar o critério de Routh–Hurwitz e mostrar que o sistema com a equação característica
é instável.
Informações relevantes dadas:
- Os coeficientes do polinômio característico são, na ordem decrescente de potências de
: . - A imagem enviada contém esses mesmos coeficientes (foi usada para verificar os números).
Passo 2
O que é o critério de Routh, de forma prática e como vamos aplicar (aula rápida):
- O critério de Routh permite descobrir quantas raízes da equação característica têm parte real positiva sem calcular as raízes explicitamente.
- Monta-se uma tabela em linhas correspondentes às potências de
( ). A primeira coluna da tabela contém sinais que determinam quantas raízes estão no semiplano direito: cada mudança de sinal na primeira coluna corresponde a uma raiz com parte real positiva. - Para um polinômio cúbico
, a primeira parte da tabela é organizada assim:
onde o elemento
da linha
(primeira coluna) é calculado por
- Depois de preencher a tabela, conta-se as mudanças de sinal na primeira coluna (de linha superior para inferior). O número de mudanças de sinal = número de raízes com parte real positiva. Se houver pelo menos uma mudança, o sistema é instável.]
Passo 3
Aplicando ao nosso polinômio:
- Identificar os coeficientes:
, , . - Preencher as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes:
Passo 4
Calcular o elemento da linha
(primeira coluna) usando a fórmula apresentada:
Fazendo a conta passo a passo:
Passo 5
Completar a tabela com os valores obtidos:
Agora a primeira coluna, de cima para baixo, é:
Passo 6
Contar as mudanças de sinal na primeira coluna:
- De
(positivo) para (positivo): sem mudança. - De
(positivo) para (negativo): 1 mudança de sinal. - De
(negativo) para (positivo): 1 mudança de sinal.
Total de mudanças de sinal =
. Pelo critério de Routh, isso significa que há exatamente
raízes com parte real positiva (ou seja, duas raízes no semiplano direito), portanto o sistema é instável.
Observação rápida (para prova): não houve necessidade de casos especiais (linhas nulas ou primeiros elementos zero); a divisão usada foi bem definida porque
.
Resposta
O sistema é instável: existem
raízes com parte real positiva.