E6.2 Um sistema possui uma equação característica s^{3}+9 s^{2}+2 s+24= 0 . Usando o critério de Routh-Hurwitz mostre que o sistema é instável.

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério de Routh–Hurwitz e mostrar que o sistema com a equação característica
s^{3}+9s^{2}+2s+24=0
é instável.
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes do polinômio característico são, na ordem decrescente de potências de s: 1,\;9,\;2,\;24.
  • A imagem enviada contém esses mesmos coeficientes (foi usada para verificar os números).

Passo 2

O que é o critério de Routh, de forma prática e como vamos aplicar (aula rápida):
  • O critério de Routh permite descobrir quantas raízes da equação característica têm parte real positiva sem calcular as raízes explicitamente.
  • Monta-se uma tabela em linhas correspondentes às potências de s ( s^n, s^{n-1}, \dots, s^0). A primeira coluna da tabela contém sinais que determinam quantas raízes estão no semiplano direito: cada mudança de sinal na primeira coluna corresponde a uma raiz com parte real positiva.
  • Para um polinômio cúbico \,s^{3}+a_2 s^{2}+a_1 s+a_0, a primeira parte da tabela é organizada assim:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_1\\[4pt] s^2 & a_2 & a_0\\[4pt] s^1 & \star & 0\\[4pt] s^0 & a_0 & \end{array}
onde o elemento \star da linha s^1 (primeira coluna) é calculado por
\star = \frac{a_2\cdot a_1 - 1\cdot a_0}{a_2}.
  • Depois de preencher a tabela, conta-se as mudanças de sinal na primeira coluna (de linha superior para inferior). O número de mudanças de sinal = número de raízes com parte real positiva. Se houver pelo menos uma mudança, o sistema é instável.]

Passo 3

Aplicando ao nosso polinômio:
  • Identificar os coeficientes: a_2=9, a_1=2, a_0=24.
  • Preencher as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\\[4pt] s^2 & 9 & 24 \end{array}]

Passo 4

Calcular o elemento da linha s^1 (primeira coluna) usando a fórmula apresentada:
\star=\frac{a_2\cdot a_1 - 1\cdot a_0}{a_2} =\frac{9\cdot 2 - 1\cdot 24}{9}.
Fazendo a conta passo a passo:
9\cdot 2 = 18, \qquad 18 - 24 = -6, \qquad \star = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}.

Passo 5

Completar a tabela com os valores obtidos:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2\\[4pt] s^2 & 9 & 24\\[4pt] s^1 & -\dfrac{2}{3} & 0\\[6pt] s^0 & 24 & \end{array}
Agora a primeira coluna, de cima para baixo, é:
1,\; 9,\; -\dfrac{2}{3},\; 24.]

Passo 6

Contar as mudanças de sinal na primeira coluna:
  • De 1 (positivo) para 9 (positivo): sem mudança.
  • De 9 (positivo) para -\dfrac{2}{3} (negativo): 1 mudança de sinal.
  • De -\dfrac{2}{3} (negativo) para 24 (positivo): 1 mudança de sinal.
Total de mudanças de sinal = 2. Pelo critério de Routh, isso significa que há exatamente 2 raízes com parte real positiva (ou seja, duas raízes no semiplano direito), portanto o sistema é instável.
Observação rápida (para prova): não houve necessidade de casos especiais (linhas nulas ou primeiros elementos zero); a divisão usada foi bem definida porque a_2=9\neq 0.

Resposta

O sistema é instável: existem 2 raízes com parte real positiva.

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