E6.1 Um sistema possui uma equação característica
. Determine a faixa de valores de
para um sistema estável.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a equação característica
- O que se pede: determinar a faixa de valores de
para a qual o sistema é estável (estabilidade assintótica, ou seja, todas as raízes com parte real negativa). - Informações relevantes dadas: os coeficientes do polinômio são
, , e .
Passo 2
Escolha do método e porquê (resumido): para verificar estabilidade de um polinômio em
sem calcular diretamente as raízes, o critério de Routh–Hurwitz é a ferramenta padrão — ele dá condições em termos dos coeficientes para que todas as raízes tenham parte real negativa. Vou aplicar o critério de Routh passo a passo.
Passo 3
Montagem do array de Routh para um polinômio de grau 3.
Para um polinômio
o array de Routh tem a forma (primeira coluna mostrada explicitamente):
linha :
linha :
linha :
linha :
linha
linha
linha
linha
No nosso caso substituímos os coeficientes:
Agora calculamos
pela regra do array de Routh:
Substituindo:
(Observação: esta fórmula exige
; o caso
será tratado separadamente.)
Passo 4
Condições de estabilidade pelo critério de Routh para grau 3.
Para estabilidade assintótica (todas as raízes com parte real negativa) é necessário e suficiente que todos os elementos da primeira coluna do array de Routh sejam estritamente positivos. Ou seja precisamos de:
Das quais:
-
é sempre verdade. -
é sempre verdade. - Portanto restam as duas condições que dependem de
:
e
Para analisar
multiplicamos pelo denominador
. Como precisamos já de
, ao multiplicar por
o sinal não muda, então é equivalente exigir
Passo 5
Resolver a desigualdade quadrática
Primeiro encontramos as raízes da equação associada
. Usando fórmula quadrática:
Como
, obtemos as raízes exatas
Numericamente,
A parábola
abre para cima, logo a desigualdade
é satisfeita para
fora do intervalo entre as raízes:
Passo 6
Combinar com a condição
.
A condição
(decorrente de
) elimina a parte
(que é negativa). Portanto a interseção das duas condições dá
Ou numericamente
Observação sobre igualdade: se
então
e um elemento da primeira coluna é zero — isso indica marginalidade (raiz(s) na fronteira do plano real), não estabilidade assintótica. O critério exige estrito
para estabilidade assintótica, então o valor limite não pertence à faixa estável.