E6.1 Um sistema possui uma equação característica s^{3}+3 K s^{2}+(2+ K) s+5=0. Determine a faixa de valores de K para um sistema estável.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a equação característica
s^{3}+3K s^{2}+(2+K)s+5=0.
  • O que se pede: determinar a faixa de valores de K para a qual o sistema é estável (estabilidade assintótica, ou seja, todas as raízes com parte real negativa).
  • Informações relevantes dadas: os coeficientes do polinômio são a_3=1, a_2=3K, a_1=2+K e a_0=5.

Passo 2

Escolha do método e porquê (resumido): para verificar estabilidade de um polinômio em s sem calcular diretamente as raízes, o critério de Routh–Hurwitz é a ferramenta padrão — ele dá condições em termos dos coeficientes para que todas as raízes tenham parte real negativa. Vou aplicar o critério de Routh passo a passo.

Passo 3

Montagem do array de Routh para um polinômio de grau 3.
Para um polinômio
s^{3}+a_2 s^{2}+a_1 s+a_0=0
o array de Routh tem a forma (primeira coluna mostrada explicitamente):
linha s^{3}: \;1\;\;\;\; a_1
linha s^{2}: \;a_2\;\;\;\; a_0
linha s^{1}: \;b_1\;\;\;\; 0
linha s^{0}: \;a_0
No nosso caso substituímos os coeficientes:
a_2 = 3K,\qquad a_1 = 2+K,\qquad a_0 = 5.
Agora calculamos b_1 pela regra do array de Routh:
b_1 = \frac{a_2\cdot a_1 - 1\cdot a_0}{a_2}.
Substituindo:
b_1 = \frac{3K(2+K) - 5}{3K} = \frac{3K^2+6K-5}{3K}.
(Observação: esta fórmula exige a_2=3K\neq 0; o caso K=0 será tratado separadamente.)

Passo 4

Condições de estabilidade pelo critério de Routh para grau 3.
Para estabilidade assintótica (todas as raízes com parte real negativa) é necessário e suficiente que todos os elementos da primeira coluna do array de Routh sejam estritamente positivos. Ou seja precisamos de:
1>0,\qquad a_2>0,\qquad b_1>0,\qquad a_0>0.
Das quais:
  • 1>0 é sempre verdade.
  • a_0=5>0 é sempre verdade.
  • Portanto restam as duas condições que dependem de K:
a_2 = 3K > 0 \quad\Rightarrow\quad K>0,
e
b_1 = \frac{3K^2+6K-5}{3K} > 0.
Para analisar b_1>0 multiplicamos pelo denominador 3K. Como precisamos já de K>0, ao multiplicar por 3K>0 o sinal não muda, então é equivalente exigir
3K^2+6K-5>0.

Passo 5

Resolver a desigualdade quadrática
3K^2+6K-5>0.
Primeiro encontramos as raízes da equação associada 3K^2+6K-5=0. Usando fórmula quadrática:
K=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot3\cdot(-5)}}{2\cdot3} =\frac{-6\pm\sqrt{36+60}}{6} =\frac{-6\pm\sqrt{96}}{6}.
Como \sqrt{96}=\sqrt{16\cdot6}=4\sqrt{6}, obtemos as raízes exatas
K=\frac{-6\pm 4\sqrt{6}}{6}=\frac{-3\pm 2\sqrt{6}}{3}.
Numericamente,
\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}\approx -2,633\quad\text{e}\quad \frac{-3+2\sqrt{6}}{3}\approx 0,633.
A parábola 3K^2+6K-5 abre para cima, logo a desigualdade >0 é satisfeita para K fora do intervalo entre as raízes:
K<\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}\quad\text{ou}\quad K>\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}.

Passo 6

Combinar com a condição K>0.
A condição K>0 (decorrente de a_2=3K>0) elimina a parte K<\frac{-3-2\sqrt{6}}{3} (que é negativa). Portanto a interseção das duas condições dá
K> \frac{-3+2\sqrt{6}}{3}.
Ou numericamente
K>0,63299\ldots\quad\text{(aproximadamente }0,633\text{).}
Observação sobre igualdade: se K=\dfrac{-3+2\sqrt{6}}{3} então b_1=0 e um elemento da primeira coluna é zero — isso indica marginalidade (raiz(s) na fronteira do plano real), não estabilidade assintótica. O critério exige estrito >\!0 para estabilidade assintótica, então o valor limite não pertence à faixa estável.

Resposta

K>\dfrac{-3+2\sqrt{6}}{3}\;\approx\;0,633

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