Estratégia (cadeia de raciocínio): como f é originalmente função de x,y e x,y dependem de u,v, usa-se a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia para este caso diz:
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y (tratando a outra variável como constante). Já \dfrac{\partial x}{\partial u},\dfrac{\partial x}{\partial v},\dfrac{\partial y}{\partial u},\dfrac{\partial y}{\partial v} vêm das fórmulas de x(u,v) e y(u,v).
Passo 3
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} simbolicamente a partir de f(x,y)=x^{2}y^{2}-x+2y.
Derivando termo a termo:
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: o termo x^{2}y^{2} visto como função de x (com y fixo) dá 2x y^{2}. O termo -x dá -1. O termo 2y é constante em relação a x e dá 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x y^{2}-1.
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: o termo x^{2}y^{2} dá 2 x^{2} y. O termo -x é constante em y e dá 0. O termo 2y dá 2. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=2 x^{2} y + 2.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v).
As expressões são x=\sqrt{u}=u^{1/2} e y=uv^{3}.
Para x:\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}, \qquad \frac{\partial x}{\partial v}=0(porque x não depende de v).
Para y:\frac{\partial y}{\partial u}=v^{3}, \qquad \frac{\partial y}{\partial v}=3u v^{2}.(derivada de uv^{3} em relação a u é v^{3}; em relação a v é u vezes a derivada de v^{3}, que é 3v^{2}.)
Passo 5
Avaliar as expressões intermediárias no ponto (u,v)=(1,-2). Primeiro calcular x e y nesse ponto (NOTE: estes valores vêm da substituição dada).