12-\operatorname{Sejam} f(x, y)=x^{2} y^{2}-x+2 y ; x=\sqrt{u}, y=u v^{3}. Encontre
\left.\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{u=1, v=-2} e \frac{\partial f}{\partial v}\right|_{u=1, v=-2}

Passo 1

O enunciado dá a função e a troca de variáveis e pede duas derivadas parciais avaliadas num ponto. Mais precisamente:
  • Função: f(x,y)=x^{2}y^{2}-x+2y.
  • Mudança de variáveis: x=\sqrt{u} e y=uv^{3}.
  • Ponto de avaliação: (u,v)=(1,-2).
O que é pedido:
  • Calcular \left.\dfrac{\partial f}{\partial u}\right|_{u=1,v=-2}.
  • Calcular \left.\dfrac{\partial f}{\partial v}\right|_{u=1,v=-2}.

Passo 2

Estratégia (cadeia de raciocínio): como f é originalmente função de x,y e x,y dependem de u,v, usa-se a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia para este caso diz:
\frac{\partial f}{\partial u}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}, \qquad \frac{\partial f}{\partial v}= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y (tratando a outra variável como constante). Já \dfrac{\partial x}{\partial u},\dfrac{\partial x}{\partial v},\dfrac{\partial y}{\partial u},\dfrac{\partial y}{\partial v} vêm das fórmulas de x(u,v) e y(u,v).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} simbolicamente a partir de f(x,y)=x^{2}y^{2}-x+2y.
Derivando termo a termo:
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: o termo x^{2}y^{2} visto como função de x (com y fixo) dá 2x y^{2}. O termo -x -1. O termo 2y é constante em relação a x e dá 0. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x y^{2}-1.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: o termo x^{2}y^{2} 2 x^{2} y. O termo -x é constante em y e dá 0. O termo 2y 2. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=2 x^{2} y + 2.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v).
As expressões são x=\sqrt{u}=u^{1/2} e y=uv^{3}.
  • Para x: \frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}, \qquad \frac{\partial x}{\partial v}=0(porque x não depende de v).
  • Para y: \frac{\partial y}{\partial u}=v^{3}, \qquad \frac{\partial y}{\partial v}=3u v^{2}.(derivada de uv^{3} em relação a u é v^{3}; em relação a v é u vezes a derivada de v^{3}, que é 3v^{2}.)

Passo 5

Avaliar as expressões intermediárias no ponto (u,v)=(1,-2). Primeiro calcular x e y nesse ponto (NOTE: estes valores vêm da substituição dada).
x(1,-2)=\sqrt{1}=1, \qquad y(1,-2)=1\cdot(-2)^{3}=-8.

Passo 6

Avaliar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} nos valores de x e y obtidos:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(x,y)=(1,-8)} = 2\cdot 1\cdot(-8)^{2}-1 = 2\cdot 64 -1 =127,
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(x,y)=(1,-8)} = 2\cdot 1^{2}\cdot(-8) + 2 = -16 + 2 = -14.

Passo 7

Avaliar as derivadas parciais de x e y em (u,v)=(1,-2):
\frac{\partial x}{\partial u}\Big|_{u=1}=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial x}{\partial v}=0,
\frac{\partial y}{\partial u}\Big|_{v=-2}=v^{3}=(-2)^{3}=-8, \qquad \frac{\partial y}{\partial v}\Big|_{u=1,v=-2}=3\cdot 1\cdot(-2)^{2}=3\cdot 4=12.

Passo 8

Aplicar a regra da cadeia com todos os valores numéricos já calculados.
Para \dfrac{\partial f}{\partial u}:
\frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{u=1,v=-2} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\!\Big|_{(1,-8)}\cdot\frac{\partial x}{\partial u}\Big|_{u=1} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\!\Big|_{(1,-8)}\cdot\frac{\partial y}{\partial u}\Big|_{v=-2}.
Substituindo os valores:
\frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{u=1,v=-2} = 127\cdot\frac{1}{2} + (-14)\cdot(-8).
Calcule passo a passo:
127\cdot\frac{1}{2}=\frac{127}{2}, \qquad (-14)\cdot(-8)=112.
Somando (colocando tudo em denominador comum 2):
\frac{127}{2}+112=\frac{127}{2}+\frac{224}{2}=\frac{351}{2}.

Passo 9

Para \dfrac{\partial f}{\partial v}:
\frac{\partial f}{\partial v}\Big|_{u=1,v=-2} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\!\Big|_{(1,-8)}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}\Big|_{u=1} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\!\Big|_{(1,-8)}\cdot\frac{\partial y}{\partial v}\Big|_{u=1,v=-2}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial v}\Big|_{u=1,v=-2} = 127\cdot 0 + (-14)\cdot 12 = -168.

Resposta

\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{u=1,v=-2}=\frac{351}{2}
\left.\frac{\partial f}{\partial v}\right|_{u=1,v=-2}=-168

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