Determine se a reta e o plano intersectam; caso afirmativo, determine as coordenadas da interseção.
x=1+t, y=-1+3 t, z=2+4 t;

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a reta e o plano intersectam; caso afirmativo, determinar as coordenadas da interseção.
As informações fornecidas no enunciado são (peguei estas da sua mensagem):
  • A reta é dada pelas parametrizações \,x=1+t,\;y=-1+3t,\;z=2+4t, onde t é o parâmetro real.
Não foi dada nenhuma equação, ponto ou outra descrição do plano no enunciado.

Passo 2

Importante: não é possível calcular numericamente a interseção sem a equação (ou outra descrição) do plano. Explico por quê e, em seguida, ensino passo a passo como fazer o cálculo caso a equação do plano fosse fornecida — assim você já aprende o método e aplica na prova se aparecer um enunciado completo.
O procedimento geral para testar interseção entre uma reta e um plano funciona assim (aqui uso letras para representar a equação geral de um plano):

Passo 3

Representação do plano e da reta (notação).
  • A equação geral de um plano é \,a x + b y + c z + d = 0, onde a,b,c,d são constantes reais do plano e o vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Explico: o vetor normal \mathbf{n} é perpendicular a qualquer vetor que more no plano.
  • A reta está dada por ponto e direção. Da parametrização fornecida, o ponto inicial da reta (quando t=0) é \,P_0=(1,-1,2) e o vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(1,3,4) (peguei estes valores da parametrização da reta).

Passo 4

Substituição do parâmetro do ponto da reta na equação do plano.
  • Para achar interseção, substitui-se as expressões paramétricas da reta na equação do plano:
a(1+t)+b(-1+3t)+c(2+4t)+d=0.
  • Organizando em termos de t obtemos uma equação linear em t:
\bigl(a+3b+4c\bigr)\,t+\bigl(a-b+2c+d\bigr)=0.
Aqui:
  • o coeficiente de t, \,a+3b+4c, é exatamente o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v} (ou seja, \mathbf{n} vezes o vetor diretor). Ele mede a “inclinação” da reta em relação ao plano;
  • o termo constante, \,a-b+2c+d, é o valor de \mathbf{n}\cdot P_0 + d (ou seja, se o ponto P_0 já satisfaz a equação do plano, esse termo é zero).

Passo 5

Análise dos casos possíveis ao resolver a equação em t.
Caso A — coeficiente de t diferente de zero:
a+3b+4c \neq 0.
Então há solução única para t:
t = -\dfrac{a-b+2c+d}{\,a+3b+4c\,}.
Significado: a reta corta o plano em exatamente um ponto. Depois de achar t, calcula-se as coordenadas da interseção usando
x=1+t,\qquad y=-1+3t,\qquad z=2+4t.
Caso B — coeficiente de t igual a zero:
a+3b+4c = 0.
Isto significa que \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, ou seja, o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano — geometricamente, a reta é paralela ao plano (ou está contida nele). Então verificamos o termo constante:
  • Se \,a-b+2c+d = 0 também, a equação fica 0=0 para todo t. Isso significa que todo ponto da reta satisfaz a equação do plano: a reta está contida no plano (infinitas interseções).
  • Se \,a-b+2c+d \neq 0, então a equação fica 0 = constante não nula, impossível. Isso significa que a reta é paralela ao plano e não o intercepta (nenhuma interseção).

Passo 6

Exemplo numérico didático (ilustrando o método com um plano concreto).
Suponha que o plano fosse \,x+2y+3z-7=0 (aqui escolhi a=1,\;b=2,\;c=3,\;d=-7 apenas como exemplo).
  • Calculo o coeficiente de t: a+3b+4c = 1+3\cdot2+4\cdot3 = 1+6+12 = 19, que é diferente de zero. Logo caso A: interseção única.
  • Calculo o termo constante: a-b+2c+d = 1-2+2\cdot3-7 = 1-2+6-7 = -2.
  • Logo
t = -\dfrac{-2}{19} = \dfrac{2}{19}.
  • Coordenadas da interseção:
x = 1+\dfrac{2}{19}=\dfrac{21}{19},\qquad y = -1+3\cdot\dfrac{2}{19}=-1+\dfrac{6}{19}=-\dfrac{13}{19},\qquad z = 2+4\cdot\dfrac{2}{19}=2+\dfrac{8}{19}=\dfrac{46}{19}.
Este exemplo mostra precisamente como proceder quando a equação do plano está disponível.

Passo 7

Conclusão sobre o enunciado que você enviou: com a informação atualmente disponível (apenas a parametrização da reta), não há como decidir numericamente se existe interseção nem calcular as coordenadas do ponto de interseção. Para obter a resposta numérica é necessária a equação do plano (por exemplo \,a x + b y + c z + d = 0) ou outra descrição equivalente do plano (três pontos no plano, ou um ponto e o vetor normal).
Força aí — se você tiver a equação do plano (ou puder colar aqui), eu já aplico este método passo a passo e calculo a interseção com todos os detalhes.

Resposta

Não é possível determinar: a equação do plano (ou outra descrição do plano) não foi fornecida.

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