Determine se a reta e o plano intersectam; caso afirmativo, determine as coordenadas da interseção.
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Passo 1
O enunciado pede: determinar se a reta e o plano intersectam; caso afirmativo, determinar as coordenadas da interseção.
As informações fornecidas no enunciado são (peguei estas da sua mensagem):
As informações fornecidas no enunciado são (peguei estas da sua mensagem):
- A reta é dada pelas parametrizações
, onde é o parâmetro real.
Não foi dada nenhuma equação, ponto ou outra descrição do plano no enunciado.
Passo 2
Importante: não é possível calcular numericamente a interseção sem a equação (ou outra descrição) do plano. Explico por quê e, em seguida, ensino passo a passo como fazer o cálculo caso a equação do plano fosse fornecida — assim você já aprende o método e aplica na prova se aparecer um enunciado completo.
O procedimento geral para testar interseção entre uma reta e um plano funciona assim (aqui uso letras para representar a equação geral de um plano):
Passo 3
Representação do plano e da reta (notação).
- A equação geral de um plano é
, onde são constantes reais do plano e o vetor normal ao plano é . Explico: o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que more no plano. - A reta está dada por ponto e direção. Da parametrização fornecida, o ponto inicial da reta (quando
) é e o vetor diretor da reta é (peguei estes valores da parametrização da reta).
Passo 4
Substituição do parâmetro do ponto da reta na equação do plano.
- Para achar interseção, substitui-se as expressões paramétricas da reta na equação do plano:
- Organizando em termos de
obtemos uma equação linear em :
Aqui:
- o coeficiente de
, , é exatamente o produto escalar (ou seja, vezes o vetor diretor). Ele mede a “inclinação” da reta em relação ao plano; - o termo constante,
, é o valor de (ou seja, se o ponto já satisfaz a equação do plano, esse termo é zero).
Passo 5
Análise dos casos possíveis ao resolver a equação em
.
Caso A — coeficiente de
diferente de zero:
Então há solução única para
:
Significado: a reta corta o plano em exatamente um ponto. Depois de achar
, calcula-se as coordenadas da interseção usando
Caso B — coeficiente de
igual a zero:
Isto significa que
, ou seja, o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano — geometricamente, a reta é paralela ao plano (ou está contida nele). Então verificamos o termo constante:
- Se
também, a equação fica para todo . Isso significa que todo ponto da reta satisfaz a equação do plano: a reta está contida no plano (infinitas interseções). - Se
, então a equação fica constante não nula, impossível. Isso significa que a reta é paralela ao plano e não o intercepta (nenhuma interseção).
Passo 6
Exemplo numérico didático (ilustrando o método com um plano concreto).
Suponha que o plano fosse (aqui escolhi
apenas como exemplo).
Suponha que o plano fosse
- Calculo o coeficiente de
: , que é diferente de zero. Logo caso A: interseção única. - Calculo o termo constante:
. - Logo
- Coordenadas da interseção:
Este exemplo mostra precisamente como proceder quando a equação do plano está disponível.
Passo 7
Conclusão sobre o enunciado que você enviou: com a informação atualmente disponível (apenas a parametrização da reta), não há como decidir numericamente se existe interseção nem calcular as coordenadas do ponto de interseção. Para obter a resposta numérica é necessária a equação do plano (por exemplo
) ou outra descrição equivalente do plano (três pontos no plano, ou um ponto e o vetor normal).
Força aí — se você tiver a equação do plano (ou puder colar aqui), eu já aplico este método passo a passo e calculo a interseção com todos os detalhes.
Resposta
Não é possível determinar: a equação do plano (ou outra descrição do plano) não foi fornecida.