Determine se a reta e o plano intersectam; caso afirmativo, determine as coordenadas da interseção.
\begin{aligned}& x=2-t, y=3+t, z=t \\& 2 x+y+z=1\end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma reta em forma paramétrica e um plano por equação cartesiana. Pediu-se:
  • Determinar se a reta e o plano se intersectam;
  • Se intersectarem, encontrar as coordenadas do ponto de interseção.
Informações fornecidas:
  • Equações da reta (com parâmetro t):
x=2-t,\qquad y=3+t,\qquad z=t.
  • Equação do plano:
2x+y+z=1.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): um ponto pertence à interseção se for um ponto da reta e, ao mesmo tempo, satisfizer a equação do plano. Então substituímos as expressões paramétricas de x,y,z (da reta) na equação do plano e tentamos resolver para t. Se existir t que satisfaça, obtemos o ponto de interseção; se não existir, não há interseção.

Passo 3

Substituição das coordenadas da reta na equação do plano. Temos que impor
2x+y+z=1,
com x=2-t, y=3+t, z=t. Então substituímos e calculamos cuidadosamente:
2(2-t)+(3+t)+t.
Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
2(2-t)+(3+t)+t = 4-2t+3+t+t.
Agrupando constantes e termos em t:
4+3 + (-2t+t+t) = 7 + 0\cdot t = 7.

Passo 4

Comparação com o lado direito da equação do plano: a substituição deu sempre 7 (independente de t), então a condição para um ponto da reta pertencer ao plano seria
7 = 1,
que é uma contradição. Portanto não existe valor de t que torne a equação verdadeira: não há ponto em comum resolvendo por essa via.

Passo 5

Interpretação geométrica e verificação adicional (muito útil na prova): a razão pela qual a substituição deu uma constante independe de t é que a direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano, o que significa que a reta é paralela ao plano. Vamos ver isso explicitamente.
  • Vetor diretor da reta (coeficientes de t com sinal apropriado): a reta pode ser escrita como
(x,y,z)=(2,3,0)+t(-1,1,1),
portanto o vetor diretor é \mathbf{v}=(-1,1,1).
  • Vetor normal do plano (coeficientes de x,y,z na equação): \mathbf{n}=(2,1,1).
  • Produto escalar:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=2\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1=-2+1+1=0.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, o vetor diretor da reta é ortogonal ao normal do plano, isto é, a reta é paralela ao plano.

Passo 6

Agora precisamos decidir entre duas possibilidades quando a reta é paralela ao plano:
  • ou a reta está contida no plano (todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano);
  • ou a reta é paralela e distinta do plano (nenhum ponto em comum).
Para verificar, basta testar um ponto qualquer da reta na equação do plano. Tomemos t=0, que dá o ponto
( x,y,z)=(2,3,0).
Avalia-se a equação do plano nesse ponto:
2\cdot 2 + 3 + 0 = 4+3+0 = 7 \neq 1.
Como esse ponto da reta não satisfaz a equação do plano, a reta não está contida no plano. Logo a reta é paralela ao plano e não tem pontos em comum com ele.

Resposta

A reta e o plano não intersectam; a reta é paralela ao plano e não está contida nele.

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