Determine se a reta e o plano intersectam; caso afirmativo, determine as coordenadas da interseção.
Passo 1
O enunciado dá uma reta em forma paramétrica e um plano por equação cartesiana. Pediu-se:
- Determinar se a reta e o plano se intersectam;
- Se intersectarem, encontrar as coordenadas do ponto de interseção.
Informações fornecidas:
- Equações da reta (com parâmetro
):
- Equação do plano:
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): um ponto pertence à interseção se for um ponto da reta e, ao mesmo tempo, satisfizer a equação do plano. Então substituímos as expressões paramétricas de
(da reta) na equação do plano e tentamos resolver para
. Se existir
que satisfaça, obtemos o ponto de interseção; se não existir, não há interseção.
Passo 3
Substituição das coordenadas da reta na equação do plano. Temos que impor
com
,
,
. Então substituímos e calculamos cuidadosamente:
Agora expandimos e somamos termos semelhantes:
Agrupando constantes e termos em
:
Passo 4
Comparação com o lado direito da equação do plano: a substituição deu sempre
(independente de
), então a condição para um ponto da reta pertencer ao plano seria
que é uma contradição. Portanto não existe valor de
que torne a equação verdadeira: não há ponto em comum resolvendo por essa via.
Passo 5
Interpretação geométrica e verificação adicional (muito útil na prova): a razão pela qual a substituição deu uma constante independe de
é que a direção da reta é ortogonal ao vetor normal do plano, o que significa que a reta é paralela ao plano. Vamos ver isso explicitamente.
- Vetor diretor da reta (coeficientes de
com sinal apropriado): a reta pode ser escrita como
portanto o vetor diretor é
.
-
Vetor normal do plano (coeficientes de
na equação): . -
Produto escalar:
Como
, o vetor diretor da reta é ortogonal ao normal do plano, isto é, a reta é paralela ao plano.
Passo 6
Agora precisamos decidir entre duas possibilidades quando a reta é paralela ao plano:
- ou a reta está contida no plano (todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano);
- ou a reta é paralela e distinta do plano (nenhum ponto em comum).
Para verificar, basta testar um ponto qualquer da reta na equação do plano. Tomemos
, que dá o ponto
Avalia-se a equação do plano nesse ponto:
Como esse ponto da reta não satisfaz a equação do plano, a reta não está contida no plano. Logo a reta é paralela ao plano e não tem pontos em comum com ele.
Resposta
A reta e o plano não intersectam; a reta é paralela ao plano e não está contida nele.