(4.33 - Oppenheim) A entrada e a saída de um sistema LIT estável e causal estão relacionadas pela equação diferencial
d^2 y(t)d t^2+6 d y(t)d t+8 y(t)=2 x(t)
(a) Encontre a resposta ao impulso desse sistema.
(b) Qual é a resposta desse sistema se x(t)=t e^-2 t u(t) ?
(c) Repita o item (a) para o sistema LIT estável e causal descrito pela equação
d^2 y(t)d t^2+raiz2 d y(t)d t+y(t)=2 d^2 x(t)d t^2-2 x(t)

Passo 1

O enunciado trata de sistemas LIT contínuos, causais e estáveis descritos por equações diferenciais de segunda ordem. No item (a) e (b) temos
d^2y(t)dt^2 + 6,dy(t)dt + 8,y(t) ;=;2,x(t)
Para resolver (a) vamos usar transformada de Laplace para obter a função de transferência H(s) e inverter para achar h(t). No item (b) aplicamos a mesma H(s) a X(s) de x(t)=t e^-2tu(t), fazemos frações parciais e invertimos. No item (c) repetimos (a) para
d^2y(t)dt^2 + raiz2,dy(t)dt + y(t) ;=;2,d^2x(t)dt^2 ;-;2,x(t)

Passo 2

Item (a): vamos à transformada de Laplace com condições iniciais nulas.
s^2Y(s) + 6,s,Y(s) +8,Y(s) ;=;2,X(s) Longrightarrow H(s)=Y(s)X(s)=2s^2+6s+8
Fatora s^2+6s+8=(s+2)(s+4) e usamos frações parciais:
2(s+2)(s+4) =As+2+Bs+4, 2=A(s+4)+B(s+2)
Tomando s=-2 2=2ARightarrow A=1. Tomando s=-4 2=-2BRightarrow B=-1. Assim
H(s)=1s+2-1s+4 Longrightarrow h(t)=l(e^-2t-e^-4tr),u(t)

Passo 3

Item (b): temos x(t)=t e^-2tu(t). Sua Laplace é
X(s)=1(s+2)^2
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Y(s)=H(s),X(s) =2(s+2)(s+4)cdot1(s+2)^2 =2(s+2)^3(s+4)
Fazemos frações parciais
2(s+2)^3(s+4) =As+4+Bs+2+C(s+2)^2+D(s+2)^3,
que leva a A=-tfrac14, B=tfrac14, C=-tfrac12, D=1. Invertendo cada termo:
y(t) =l[-tfrac14,e^-4t+tfrac14,e^-2t-tfrac12,t,e^-2t+tfrac12,t^2e^-2tr],u(t)

Passo 4

Item (c): com entrada impulso de<a(t), temos X(s)=1 e
H(s)=Y(s)X(s) =2l(s^2-1r)s^2+raiz2,s+1
Escreve-se
2(s^2-1) =2l[(s^2+raiz2s+1)-raiz2s-2r] =2(s^2+raiz2s+1)-2raiz2s-4,
de modo que
H(s)=2-2raiz2,s+4s^2+raiz2s+1
Chamando alpha=tfracraiz22, beta=tfrac1raiz2, reescrevemos o resto em termos de (s+alpha) e invertendo:
h(t) =2,de<a(t) -2raiz2,e^-alpha tcos(beta t),u(t) -2raiz2,e^-alpha tsin(beta t),u(t)
com alpha=tfracraiz22, beta=tfrac1raiz2.

Resposta

(a) h(t)=l(e^-2t-e^-4tr),u(t)
(b) y(t)=l[-tfrac14,e^-4t+tfrac14,e^-2t-tfrac12,t,e^-2t+tfrac12,t^2e^-2tr],u(t)
(c) h(t)=2,de<a(t);-;2raiz2,e^-raiz22tl[cosl(tfractraiz2r)+sinl(tfractraiz2r)r],u(t)

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