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Quantos anagramas tem as palavras MISSISSIPI e ITAQUAQUECETUBA?
Quantos anagramas tem as palavras MISSISSIPI e ITAQUAQUECETUBA?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos anagramas tem as palavras MISSISSIPI e ITAQUAQUECETUBA?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A primeira palavra é “MISSISSIPI” (uma sequência de letras).
- A segunda palavra é “ITAQUAQUECETUBA” (uma sequência de letras).
- Para cada palavra, a pergunta é quantas palavras distintas (anagramas) podem ser formadas permutando as letras, levando em conta letras repetidas.
Passo 2
Conceito e fórmula (aulasinha rápida e prática). Quando se tem
objetos e alguns objetos são idênticos entre si (repetidos), o número de permutações distintas é
onde:
-
é o número total de objetos (a soma de todas as ocorrências), -
são as multiplicidades (quantas vezes cada tipo repetido aparece).
Explicando devagar:conta todas as permutações se todas as letras fossem diferentes. Mas quando há repetições, permutações que apenas trocam duas letras idênticas não criam uma nova palavra distinta; por isso dividimos por para cada conjunto de letras idênticas, que remove essas duplicações.
Exemplo curtinho para fixar: a palavra “ANA” tem
letras, com
aparecendo
vezes e
aparecendo
vez. Pelo fórmula:
e de fato os anagramas distintos são “ANA”, “AAN” e “NAA” (três).
Passo 3
Aplicando ao caso 1: “MISSISSIPI”. Primeiro contar quantas letras tem e quantas vezes cada letra aparece.
- Comprimento total:
(há 10 letras). - Contagens das letras:
-
Esses valores somam
, coerente.
Passo 4
Calcular o número de anagramas de “MISSISSIPI” usando a fórmula:
Agora calcular numericamente:
logo
Passo 5
Aplicando ao caso 2: “ITAQUAQUECETUBA”. Primeiro contar letras e suas multiplicidades (vou listar explicitamente cada letra e quantas vezes aparece).
A palavra tem letras no total. Contagens:
A palavra tem
-
(posições 3, 6, 15) -
(posições 5, 8, 13) -
(posições 9, 11) -
(posições 4, 7) -
(posições 2, 12) -
-
-
Verificação rápida:
, ok.
Passo 6
Calcular o número de anagramas de “ITAQUAQUECETUBA” com a fórmula:
Simplificando o denominador:
portanto o denominador é
.
Agora os números:
Para dividir de forma prática, primeiro dividir por
(fator conveniente) e depois por
porque
:
Logo o número de anagramas é
.
Passo 7
Recapitulando de forma curta: aplicou-se a fórmula das permutações com repetição, contando as multiplicidades das letras de cada palavra e calculando a divisão dos fatoriais. Calma, deu tudo certo — você já sabe o método para qualquer outra palavra parecida!
Resposta
MISSISSIPI:
ITAQUAQUECETUBA:
ITAQUAQUECETUBA: