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Quantos anagramas tem as palavras MISSISSIPI e ITAQUAQUECETUBA?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos anagramas tem as palavras MISSISSIPI e ITAQUAQUECETUBA?”\n
Informações dadas:
  • A primeira palavra é “MISSISSIPI” (uma sequência de letras).
  • A segunda palavra é “ITAQUAQUECETUBA” (uma sequência de letras).
  • Para cada palavra, a pergunta é quantas palavras distintas (anagramas) podem ser formadas permutando as letras, levando em conta letras repetidas.

Passo 2

Conceito e fórmula (aulasinha rápida e prática). Quando se tem n objetos e alguns objetos são idênticos entre si (repetidos), o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!},
onde:
  • n é o número total de objetos (a soma de todas as ocorrências),
  • n_1,n_2,\dots,n_k são as multiplicidades (quantas vezes cada tipo repetido aparece).
    Explicando devagar: n! conta todas as permutações se todas as letras fossem diferentes. Mas quando há repetições, permutações que apenas trocam duas letras idênticas não criam uma nova palavra distinta; por isso dividimos por n_i! para cada conjunto de letras idênticas, que remove essas duplicações.
Exemplo curtinho para fixar: a palavra “ANA” tem n=3 letras, com A aparecendo 2 vezes e N aparecendo 1 vez. Pelo fórmula:
\frac{3!}{2!\,1!}=\frac{6}{2}=3,
e de fato os anagramas distintos são “ANA”, “AAN” e “NAA” (três).

Passo 3

Aplicando ao caso 1: “MISSISSIPI”. Primeiro contar quantas letras tem e quantas vezes cada letra aparece.
  • Comprimento total: n=10 (há 10 letras).
  • Contagens das letras:
    • M:\,1
    • I:\,4
    • S:\,4
    • P:\,1
Esses valores somam 1+4+4+1=10, coerente.

Passo 4

Calcular o número de anagramas de “MISSISSIPI” usando a fórmula:
\text{Anagramas}=\frac{10!}{1!\,4!\,4!\,1!}=\frac{10!}{4!\,4!}.
Agora calcular numericamente:
10!=3628800,\qquad 4!=24,\qquad 4!\cdot4!=24\cdot24=576,
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\frac{10!}{4!\,4!}=\frac{3628800}{576}=6300.

Passo 5

Aplicando ao caso 2: “ITAQUAQUECETUBA”. Primeiro contar letras e suas multiplicidades (vou listar explicitamente cada letra e quantas vezes aparece).
A palavra tem n=15 letras no total. Contagens:
  • A:\,3 (posições 3, 6, 15)
  • U:\,3 (posições 5, 8, 13)
  • E:\,2 (posições 9, 11)
  • Q:\,2 (posições 4, 7)
  • T:\,2 (posições 2, 12)
  • C:\,1
  • B:\,1
  • I:\,1
Verificação rápida: 3+3+2+2+2+1+1+1=15, ok.

Passo 6

Calcular o número de anagramas de “ITAQUAQUECETUBA” com a fórmula:
\text{Anagramas}=\frac{15!}{3!\,3!\,2!\,2!\,2!\,1!\,1!\,1!}=\frac{15!}{3!\,3!\,2!\,2!\,2!}.
Simplificando o denominador:
3!\,3!=6\cdot6=36,\qquad 2!\,2!\,2!=2\cdot2\cdot2=8,
portanto o denominador é 36\cdot8=288.
Agora os números:
15!=1307674368000.
Para dividir de forma prática, primeiro dividir por 16 (fator conveniente) e depois por 18 porque 288=16\cdot18:
\frac{15!}{288}=\frac{1307674368000}{288}=\frac{1307674368000/16}{288/16}=\frac{81729648000}{18}=4540536000.
Logo o número de anagramas é 4540536000.

Passo 7

Recapitulando de forma curta: aplicou-se a fórmula das permutações com repetição, contando as multiplicidades das letras de cada palavra e calculando a divisão dos fatoriais. Calma, deu tudo certo — você já sabe o método para qualquer outra palavra parecida!

Resposta

MISSISSIPI: 6300
ITAQUAQUECETUBA: 4540536000

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