Considere a sequencia decrescente:
(em que
é um numero natural). Sabendo que a mediana dos elementos dessa sequencia é 6 , determine:
(a) O valor de
.
(b) A média aritmética dos elementos dessa sequência.
(a) O valor de
(b) A média aritmética dos elementos dessa sequência.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência decrescente com seis termos
onde
é um número natural. Pede-se:
(a) determinar o valor de sabendo que a mediana da sequência é
;
(b) calcular a média aritmética dos elementos dessa sequência.
(a) determinar o valor de
(b) calcular a média aritmética dos elementos dessa sequência.
Informações relevantes: a sequência tem exatamente
termos (de
até
), e a mediana dada é
.
Passo 2
Explicação do conceito de mediana (passo-a-passo, sem pular etapas).
- A mediana de um conjunto finito de dados ordenados é o valor que fica no “meio”.
- Se o número de elementos for ímpar, a mediana é o elemento central.
- Se o número de elementos for par (como aqui:
elementos), a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais.
Paraelementos ordenados (posições ), os dois elementos centrais são nas posições e .
Passo 3
Aplicando isso à nossa sequência: os elementos nas posições
e
são, respectivamente,
Portanto a mediana é
Passo 4
Simplificar a expressão da mediana e igualar a
. Primeiro fatorar:
Como a mediana vale
, temos a equação
Dividindo ambos os lados por
:
Da igualdade de potências de
vem
Passo 5
Agora que
, listar explicitamente os termos da sequência (substituir
):
Ou seja, a sequência é
. (Verificação rápida: os termos centrais
e
têm média
, consistente.)
Passo 6
Explicação do conceito de média aritmética e aplicação.
- A média aritmética de
valores é
Aqui
, então
Passo 7
Calcular a soma. Uma forma elegante usa soma geométrica: para
A soma geométrica é
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)