Considere a sequencia decrescente: 2^{n}, 2^{n-1}, \ldots, 2^{n-5} (em que n é um numero natural). Sabendo que a mediana dos elementos dessa sequencia é 6 , determine:
(a) O valor de n.
(b) A média aritmética dos elementos dessa sequência.

Passo 1

O enunciado fornece a sequência decrescente com seis termos
2^{n},\;2^{n-1},\;2^{n-2},\;2^{n-3},\;2^{n-4},\;2^{n-5},
onde n é um número natural. Pede-se:
(a) determinar o valor de n sabendo que a mediana da sequência é 6;
(b) calcular a média aritmética dos elementos dessa sequência.
Informações relevantes: a sequência tem exatamente 6 termos (de n até n-5), e a mediana dada é 6.

Passo 2

Explicação do conceito de mediana (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • A mediana de um conjunto finito de dados ordenados é o valor que fica no “meio”.
  • Se o número de elementos for ímpar, a mediana é o elemento central.
  • Se o número de elementos for par (como aqui: 6 elementos), a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais.
    Para 6 elementos ordenados (posições 1,2,3,4,5,6), os dois elementos centrais são nas posições 3 e 4.

Passo 3

Aplicando isso à nossa sequência: os elementos nas posições 3 e 4 são, respectivamente,
\text{posição 3} = 2^{n-2},\qquad \text{posição 4} = 2^{n-3}.çãçã
Portanto a mediana é
\text{mediana}=\frac{2^{n-2}+2^{n-3}}{2}.

Passo 4

Simplificar a expressão da mediana e igualar a 6. Primeiro fatorar:
\frac{2^{n-2}+2^{n-3}}{2}=\frac{2^{n-3}(2+1)}{2}=\frac{3\cdot 2^{n-3}}{2}=3\cdot 2^{n-4}.
Como a mediana vale 6, temos a equação
3\cdot 2^{n-4}=6.
Dividindo ambos os lados por 3:
2^{n-4}=2.
Da igualdade de potências de 2 vem
n-4=1 \quad\Rightarrow\quad n=5.

Passo 5

Agora que n=5, listar explicitamente os termos da sequência (substituir n):
2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{1}=2,\quad 2^{0}=1.
Ou seja, a sequência é 32,16,8,4,2,1. (Verificação rápida: os termos centrais 8 e 4 têm média (8+4)/2=6, consistente.)

Passo 6

Explicação do conceito de média aritmética e aplicação.
  • A média aritmética de m valores x_1,\dots,x_m é
\bar{x}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} x_i.
Aqui m=6, então
\bar{x}=\frac{1}{6}\big(32+16+8+4+2+1\big).

Passo 7

Calcular a soma. Uma forma elegante usa soma geométrica: para n=5
\sum_{k=0}^{5}2^{5-k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=\sum_{j=0}^{5}2^{j}.
A soma geométrica é
\sum_{j=0}^{5}2^{j}=\frac{2^{6}-1}{2-1}=2^{6}-1=64-1=63.
Portanto
\bar{x}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}=10,5.

Resposta

(a) n=5
(b) \bar{x}=10,5

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