1.(2 pontos)
O que diz o princípio fundamental da contagem?

Passo 1

O enunciado pergunta exatamente: “O que diz o princípio fundamental da contagem?”
Não há outros dados numéricos ou condições adicionais fornecidas.

Passo 2

Enunciado formal do princípio (versão básica).
Se um procedimento consiste em k etapas realizadas em sequência e a etapa i pode ser executada de n_i maneiras, então o número total de maneiras de executar todo o procedimento (escolhendo uma opção em cada etapa) é
\prod_{i=1}^{k} n_i = n_1 n_2 \cdots n_k.

Passo 3

Explicando o que cada símbolo significa (passo a passo, sem pressa).
  • k é o número de etapas independentes do procedimento (por exemplo: escolher camisa, escolher calça, escolher sapato → k=3).
  • n_i é a quantidade de opções disponíveis na etapa i (por exemplo: n_1 camisas, n_2 calças, etc.).
  • O produto \prod_{i=1}^{k} n_i significa multiplicar todos esses números de opções, porque para cada escolha na etapa 1 existem n_2 escolhas na etapa 2, para cada combinação das duas primeiras existem n_3 escolhas na etapa 3, e assim por diante.

Passo 4

Intuição com uma árvore de decisões (visualização mental).
Imagine uma árvore: a raiz são as opções da etapa 1 ( n_1 folhas). Cada folha se ramifica em n_2 folhas (opções da etapa 2). O número total de folhas finais (caminhos completos) é n_1 vezes n_2 vezes … até n_k. É por isso que multiplicamos.

Passo 5

Exemplo simples 1 — moeda lançada duas vezes.
Em cada lançamento há 2 resultados possíveis ( H ou T). Aqui k=2, n_1=2, n_2=2. Pelo princípio, total de resultados =2\cdot2=4, que são HH, HT, TH, TT.

Passo 6

Exemplo simples 2 — roupa do dia.
Se há 3 camisas e 2 calças, então o número de combinações camisa+calça é 3\cdot2=6. Cada uma das 3 camisas pode ser combinada com cada uma das 2 calças.

Passo 7

Casos com restrições (sem repetição, ordem importa).
  • Sem repetição: ao escolher 3 objetos distintos de 5 sem reposição e respeitando a ordem, conte as opções por etapas: 5 escolhas na etapa 1, 4 na etapa 2, 3 na etapa 3 → total =5\cdot4\cdot3. O princípio continua valendo, apenas os n_i mudam conforme as restrições.
  • Ordem importa vs não importa: o princípio conta sequências (ordem importa). Se a ordem não importa, costuma ser necessário dividir por fatores apropriados (isso leva ao conceito de combinações), mas a multiplicação ainda aparece na contagem intermediária.

Passo 8

Quando NÃO aplicar diretamente (erros comuns).
  • Não some n_1 + n_2 quando as escolhas são em sequência: somar é adequado em situações “ou”, multiplicar em situações “e” sequencial.
  • Não aplique n_1 n_2 \cdots n_k se as escolhas são mutuamente exclusivas (escolher uma única opção entre vários conjuntos disjuntos pede soma).
  • Verifique se as etapas estão bem definidas e se n_i realmente conta as opções válidas naquele estágio (evita overcounting).

Passo 9

Receita prática para a prova (passos rápidos para aplicar).
  1. Identificar claramente as etapas sequenciais do processo.
  2. Para cada etapa i, contar quantas opções válidas existem: n_i. Se a quantidade depender do que foi escolhido antes, conte condicionalmente (ex.: n_2 pode ser n_2(a) dependendo da escolha da etapa 1), mas ainda multiplique ao final para cada ramo.
  3. Multiplicar todos os n_i para obter o total. Escreva \prod_{i=1}^{k} n_i ou n_1 n_2 \cdots n_k.
  4. Verifique se a ordem importa e se há restrições (sem repetição, impossibilidades) e ajuste os n_i antes de multiplicar.

Passo 10

Dica motivacional rápida (você consegue!).
Pratique alguns exemplos curtos (moedas, roupas, senhas curtas). A ideia de “multiplicar opções” é muito direta e cai bastante em prova — treine imaginar a árvore de escolhas e contar as folhas finais. Vai dar certo!

Resposta

O princípio fundamental da contagem afirma que, se um procedimento consiste em k etapas realizadas em sequência e a etapa i pode ser feita de n_i maneiras, então o número total de maneiras de executar todo o procedimento é \displaystyle\prod_{i=1}^{k} n_i = n_1 n_2 \cdots n_k.

Exercícios relacionados