R6.12 Para sólidos não metálicos a
muito baixa, a
é proporcional a
. Se a
é
a
para uma certa substância, determine a entropia molar padrão convencional daquela substância a
.
Passo 1
O enunciado fornece uma substância sólida não metálica em condições de temperatura muito baixa e dá o valor do calor específico molar padrão a uma temperatura:
à temperatura
. Pede-se a entropia molar padrão convencional dessa substância à temperatura
.
Dados que vamos usar diretamente:
Temperatura onde queremos a entropia:
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos aplicar (explicação didática): pela terceira lei da termodinâmica, a entropia absoluta de um cristal perfeito tende a zero quando
. Assim, a entropia molar padrão a uma temperatura
pode ser calculada integrando o calor específico dividido por
desde
até
:
Aqui usei
como variável de integração para deixar claro que estamos somando contribuições de todas as temperaturas entre
e
.
No regime de temperaturas muito baixas para sólidos não-metálicos, a aproximação física (modelo de Debye) indica que
Então podemos escrever o calor específico na forma
onde
é uma constante que precisamos determinar a partir do dado em
.
Passo 3
Determinar a constante
usando o dado dado no enunciado. Substituímos
em
:
Calculamos
:
Logo
Explicando a unidade: como
tem unidade
e dividimos por
(unidade
), a constante
tem unidade
.
Passo 4
Agora escrevemos a expressão para a entropia usando
na integral
Integramos passo a passo: a primitiva de
em relação a
é
. Portanto,
Resumo: sempre que
, a entropia a
é
. Isso é um resultado prático que dá uma expressão simples para calcular rapidamente.
Passo 5
Aplicar a fórmula para
com
:
Calcule
:
Então
Multiplicando:
Arredondamento sensato: os dados do enunciado têm, na prática, duas casas significativas (
e
), então é razoável apresentar a resposta com duas casas significativas após a vírgula decimal no contexto dado. Assim,
.
Pequena palavra de incentivo: você conseguiu acompanhar a lógica — identificar a lei
, achar a constante e integrar deu tudo certo. Boa! 😃