12. Solucione a equação \cos z=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções complexas de \cos z=0. O conteúdo envolvido é Análise de Funções de Variável Complexa, e vamos usar a definição exponencial de \cos z para resolver a equação.

Passo 2

Lembramos que, para todo z\in\mathbb{C},
\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}.

Passo 3

Substituindo na equação \cos z=0 e multiplicando por 2, obtemos
e^{iz} + e^{-iz} = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{iz} = -\,e^{-iz}.
Multiplicando ambos os lados por e^{iz},
e^{2iz} = -1.

Passo 4

Para resolver e^{2iz}=-1, usamos o logaritmo complexo de -1:
-1 = e^{i\bigl(\pi + 2\pi k\bigr)},\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo,
2i\,z = i\bigl(\pi + 2\pi k\bigr) \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{\pi + 2\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

As soluções de \cos z=0 são
z = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados