Calcule i^{i}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular i^{i}, ou seja, elevar a unidade imaginária ao expoente imaginário i. Para isso, vamos usar a definição de potenciação para números complexos e o logaritmo complexo.

Passo 2

Em geral, para dois números complexos z e w definimos
z^{w} = e^{\,w\,\mathrm{Log}\,z},
onde \mathrm{Log}\,z é o logaritmo complexo principal de z.

Passo 3

Precisamos então do logaritmo complexo principal de i. Como |i|=1 e o argumento principal de i é \pi/2, temos
\mathrm{Log}\,i = \ln|i| + i\Arg(i) = 0 + i\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potenciação:
i^{i} = e^{\,i\,\mathrm{Log}\,i} = e^{\,i\cdot\bigl(i\frac{\pi}{2}\bigr)} = e^{-\frac{\pi}{2}}.
Portanto o valor principal de i^{i} é real e igual a e^{-\pi/2}.

Passo 5

Vale observar que o logaritmo complexo é multivalorado, pois poderíamos usar \Arg(i)=\frac{\pi}{2}+2k\pi e obter
i^{i} = \exp\Bigl(-\tfrac{\pi}{2} - 2k\pi\Bigr),
para qualquer inteiro k. O valor principal corresponde a k=0.

Resposta

e^{-\frac{\pi}{2}}

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