*12-12. A sphere is fired downwards into a medium with an initial speed of 
 . If it experiences a deceleration of 
 , where 
  is in seconds, determine the distance traveled before it stops.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Velocidade inicial: 
direcionada para baixo.  - Aceleração dependente do tempo: 
, com em segundos.  - Pergunta: determinar a distância percorrida pela esfera desde 
até o instante em que ela para (isto é, até a velocidade momentaneamente ser zero).  
Estas são todas as informações relevantes que usaremos.
Passo 2
Escolha de sinal e interpretação física (muito importante): vou tomar a direção para baixo como positiva. Assim:
- A velocidade inicial fica 
.  - A aceleração dada é 
. O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta à do movimento (ou seja, é uma desaceleração), e seu módulo cresce com o tempo.  
Essa escolha simplifica a integração: velocidade positiva enquanto está descendo e vai diminuindo até zero.
Passo 3
Relacionando aceleração e velocidade: lembrando que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos
Substituindo a expressão dada,
Para obter 
  integramos em relação a 
 .
Passo 4
Integração para obter 
 . Integramos ambos os lados:
onde 
  é a constante de integração. Usamos a condição inicial 
  para achar 
 :
Logo a velocidade em função do tempo é
Passo 5
Determinar o instante em que a esfera para: isso ocorre quando 
 . Então resolvemos
Isolando 
 :
tomamos a raiz positiva porque o tempo 
  é não-negativo. Então a esfera para em 
 .
Passo 6
Agora queremos a distância percorrida desde 
  até 
 . A posição relativa 
  pode ser obtida integrando a velocidade:
Vou calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Cálculo da integral:
Avaliada de 
  a 
 :
Calcule os termos:
portanto
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida: a unidade vem de integrar velocidade (m/s) em relação ao tempo (s), então a distância está em metros. O valor positivo 
  m faz sentido: a esfera desce 
  metros antes de parar devido à desaceleração variável.