*12-12. A sphere is fired downwards into a medium with an initial speed of 27 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. If it experiences a deceleration of a=(-6 t) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, where t is in seconds, determine the distance traveled before it stops.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Velocidade inicial: \;27\\ \mathrm{m/s} direcionada para baixo.
  • Aceleração dependente do tempo: \;a(t) = -6t\\ \mathrm{m/s}^2, com t em segundos.
  • Pergunta: determinar a distância percorrida pela esfera desde t=0 até o instante em que ela para (isto é, até a velocidade momentaneamente ser zero).
Estas são todas as informações relevantes que usaremos.

Passo 2

Escolha de sinal e interpretação física (muito importante): vou tomar a direção para baixo como positiva. Assim:
  • A velocidade inicial fica \;v(0)=+27\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração dada é \;a(t)=-6t\\ \mathrm{m/s}^2. O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta à do movimento (ou seja, é uma desaceleração), e seu módulo cresce com o tempo.
Essa escolha simplifica a integração: velocidade positiva enquanto está descendo e vai diminuindo até zero.

Passo 3

Relacionando aceleração e velocidade: lembrando que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Substituindo a expressão dada,
\frac{dv}{dt} = -6t.
Para obter v(t) integramos em relação a t.

Passo 4

Integração para obter v(t). Integramos ambos os lados:
v(t) = \int -6t\,dt = -6\cdot\frac{t^2}{2} + C = -3t^2 + C,
onde C é a constante de integração. Usamos a condição inicial v(0)=27 para achar C:
v(0) = -3\cdot0^2 + C = C = 27.
Logo a velocidade em função do tempo é
v(t) = 27 - 3t^2.

Passo 5

Determinar o instante em que a esfera para: isso ocorre quando v(t)=0. Então resolvemos
27 - 3t^2 = 0.
Isolando t^2:
3t^2 = 27 \quad\Rightarrow\quad t^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad t = 3\\ \text{s},
tomamos a raiz positiva porque o tempo t é não-negativo. Então a esfera para em \;t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Agora queremos a distância percorrida desde t=0 até t=3. A posição relativa s(t) pode ser obtida integrando a velocidade:
s = \int_{0}^{3} v(t)\,dt = \int_{0}^{3} (27 - 3t^2)\,dt.
Vou calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Cálculo da integral:
\int (27 - 3t^2)\,dt = 27t - t^3 + \text{constante}.
Avaliada de 0 a 3:
s = \big[27t - t^3\big]_{0}^{3} = (27\cdot 3 - 3^3) - (27\cdot 0 - 0^3).
Calcule os termos:
27\cdot 3 = 81,\qquad 3^3 = 27,
portanto
s = 81 - 27 = 54.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: a unidade vem de integrar velocidade (m/s) em relação ao tempo (s), então a distância está em metros. O valor positivo \;54 m faz sentido: a esfera desce 54 metros antes de parar devido à desaceleração variável.

Resposta

54\\ \mathrm{m}

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