*12-12. A sphere is fired downwards into a medium with an initial speed of
. If it experiences a deceleration of
, where
is in seconds, determine the distance traveled before it stops.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Velocidade inicial:
direcionada para baixo. - Aceleração dependente do tempo:
, com em segundos. - Pergunta: determinar a distância percorrida pela esfera desde
até o instante em que ela para (isto é, até a velocidade momentaneamente ser zero).
Estas são todas as informações relevantes que usaremos.
Passo 2
Escolha de sinal e interpretação física (muito importante): vou tomar a direção para baixo como positiva. Assim:
- A velocidade inicial fica
. - A aceleração dada é
. O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta à do movimento (ou seja, é uma desaceleração), e seu módulo cresce com o tempo.
Essa escolha simplifica a integração: velocidade positiva enquanto está descendo e vai diminuindo até zero.
Passo 3
Relacionando aceleração e velocidade: lembrando que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos
Substituindo a expressão dada,
Para obter
integramos em relação a
.
Passo 4
Integração para obter
. Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial
para achar
:
Logo a velocidade em função do tempo é
Passo 5
Determinar o instante em que a esfera para: isso ocorre quando
. Então resolvemos
Isolando
:
tomamos a raiz positiva porque o tempo
é não-negativo. Então a esfera para em
.
Passo 6
Agora queremos a distância percorrida desde
até
. A posição relativa
pode ser obtida integrando a velocidade:
Vou calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Cálculo da integral:
Avaliada de
a
:
Calcule os termos:
portanto
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida: a unidade vem de integrar velocidade (m/s) em relação ao tempo (s), então a distância está em metros. O valor positivo
m faz sentido: a esfera desce
metros antes de parar devido à desaceleração variável.