A bola de 0,5 \mathrm{~kg} é lançada do tubo em A com uma velocidade de v= 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se o coeficiente de restituição entre a bola e a superfície é e=0,8, determine a altura h após ela ricochetear na superfície.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Massa da bola: \,0,5\\ \mathrm{kg} (informação presente na figura).
  • Velocidade inicial no ponto A: \;v=6\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção do lançamento em relação à horizontal: \;30^\circ (tirado da figura).
  • Altura do ponto A em relação ao plano de impacto (chão): \;2\\ \mathrm{m} (dado na figura).
  • Coeficiente de restituição entre a bola e a superfície: \;e=0,8.
  • A bola atinge o chão em B, ricocheteia e sobe até um ponto C cuja altura acima do chão é \;h (é o que devemos determinar).
Observação: a massa \,0,5\\ \mathrm{kg} aparece no enunciado mas não será necessária para calcular h. A pergunta é: determinar \;h.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Fórmula e significado:
v_x = v\cos\theta,\qquad v_{y0} = v\sin\theta,
onde \;v é a velocidade inicial e \;\theta o ângulo acima da horizontal. Aplicando os números (note que \cos30^\circ=\sqrt{3}/2 e \sin30^\circ=1/2):
v_x = 6\cos30^\circ = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 6\cdot0{,}866=5{,}196\\ \mathrm{m/s},
v_{y0} = 6\sin30^\circ = 6\cdot\frac{1}{2}=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: v_x é a componente horizontal (permanece constante enquanto não há atrito horizontal significativo no impacto idealizado) e v_{y0} é a componente vertical inicial (positiva para cima).

Passo 3

A bola parte de A com altura \;2\\ \mathrm{m} e componente vertical inicial \;v_{y0}=3{,}0\\ \mathrm{m/s}. Queremos a velocidade vertical imediatamente antes do impacto em B. Usamos a equação cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento:
v_y^2 = v_{y0}^2 + 2a\Delta y,
onde:
  • v_y é a velocidade vertical no ponto final (aqui no instante antes do impacto),
  • v_{y0} é a velocidade vertical inicial ( 3{,}0\\ \mathrm{m/s}),
  • a é a aceleração vertical ( a=-g, com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \Delta y é o deslocamento vertical ( \Delta y = y_{\text{final}}-y_{\text{inicial}} = 0 - 2 = -2\\ \mathrm{m}).
Substituindo:
v_{yB}^2 = (3{,}0)^2 + 2(-9{,}8)(-2) = 9 + 39{,}2 = 48{,}2.
Portanto a velocidade vertical imediatamente antes do impacto tem magnitude
|v_{yB}| = \sqrt{48{,}2}\approx 6{,}942\\ \mathrm{m/s},
e a direção é para baixo (ou seja, v_{yB}\approx -6{,}942\\ \mathrm{m/s} se tomarmos para cima positivo).

Passo 4

Agora aplicamos o coeficiente de restituição. Para um choque com uma superfície fixa horizontal, o coeficiente de restituição e relaciona a componente normal (vertical) das velocidades assim:
e = \frac{\text{velocidade de separação (após)} }{\text{velocidade de aproximação (antes)}} = \frac{v_{y+}}{|v_{y-}|},çãóçã
onde v_{y-} é a componente vertical imediatamente antes do impacto (negativa) e v_{y+} é a componente vertical imediatamente após o impacto (positiva, para cima). A componente horizontal é considerada inalterada nesse modelo ideal.
Logo,
v_{y+} = e\,|v_{y-}| = e\cdot|v_{yB}|.
Substituindo os valores:
v_{y+} = 0{,}8\cdot 6{,}942 \approx 5{,}554\\ \mathrm{m/s}.
Isto é, imediatamente após o ricochete a bola tem velocidade vertical para cima de aproximadamente \;5{,}554\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A altura máxima h atingida após o ricochete (medida a partir do chão, já que o impacto ocorreu no chão) pode ser obtida usando novamente a equação cinemática para o movimento vertical do ponto de lançamento do segundo voo até o vértice, onde a velocidade vertical final é zero:
0 = v_{y+}^2 + 2(-g)\Delta y \quad\Rightarrow\quad \Delta y = \frac{v_{y+}^2}{2g}.
Aqui \Delta y é a altura máxima que sobe acima do ponto de impacto (que é o chão), então \Delta y é precisamente h. Substituindo v_{y+} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
h = \frac{(5{,}554)^2}{2\cdot 9{,}8} = \frac{30{,}86}{19{,}6}\approx 1{,}576\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensivelmente, obtemos h\approx 1{,}58\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Pequena recapitulação e checagem: usamos decomposição da velocidade, equação cinemática v^2=u^2+2as para achar a velocidade de impacto, a definição de coeficiente de restituição para obter a velocidade de saída vertical, e de novo a equação cinemática para transformar essa velocidade em altura máxima. A massa da bola não entrou em nenhuma conta porque o choque com a superfície fixa é tratado pelo coeficiente e que já incorpora a relação entre velocidades; energia/força não foi solicitada explicitamente.

Resposta

\;1,58\\ \mathrm{m}

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