A bola de
é lançada do tubo em
com uma velocidade de
. Se o coeficiente de restituição entre a bola e a superfície é
, determine a altura
após ela ricochetear na superfície.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Massa da bola:
(informação presente na figura). - Velocidade inicial no ponto
: . - Direção do lançamento em relação à horizontal:
(tirado da figura). - Altura do ponto
em relação ao plano de impacto (chão): (dado na figura). - Coeficiente de restituição entre a bola e a superfície:
. - A bola atinge o chão em
, ricocheteia e sobe até um ponto cuja altura acima do chão é (é o que devemos determinar).
Observação: a massa
aparece no enunciado mas não será necessária para calcular
. A pergunta é: determinar
.
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Fórmula e significado:
onde
é a velocidade inicial e
o ângulo acima da horizontal. Aplicando os números (note que
e
):
Explicação rápida:
é a componente horizontal (permanece constante enquanto não há atrito horizontal significativo no impacto idealizado) e
é a componente vertical inicial (positiva para cima).
Passo 3
A bola parte de
com altura
e componente vertical inicial
. Queremos a velocidade vertical imediatamente antes do impacto em
. Usamos a equação cinemática que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento:
onde:
-
é a velocidade vertical no ponto final (aqui no instante antes do impacto), -
é a velocidade vertical inicial ( ), -
é a aceleração vertical ( , com ), -
é o deslocamento vertical ( ).
Substituindo:
Portanto a velocidade vertical imediatamente antes do impacto tem magnitude
e a direção é para baixo (ou seja,
se tomarmos para cima positivo).
Passo 4
Agora aplicamos o coeficiente de restituição. Para um choque com uma superfície fixa horizontal, o coeficiente de restituição
relaciona a componente normal (vertical) das velocidades assim:
onde
é a componente vertical imediatamente antes do impacto (negativa) e
é a componente vertical imediatamente após o impacto (positiva, para cima). A componente horizontal é considerada inalterada nesse modelo ideal.
Logo,
Substituindo os valores:
Isto é, imediatamente após o ricochete a bola tem velocidade vertical para cima de aproximadamente
.
Passo 5
A altura máxima
atingida após o ricochete (medida a partir do chão, já que o impacto ocorreu no chão) pode ser obtida usando novamente a equação cinemática para o movimento vertical do ponto de lançamento do segundo voo até o vértice, onde a velocidade vertical final é zero:
Aqui
é a altura máxima que sobe acima do ponto de impacto (que é o chão), então
é precisamente
. Substituindo
e
:
Arredondando sensivelmente, obtemos
.
Passo 6
Pequena recapitulação e checagem: usamos decomposição da velocidade, equação cinemática
para achar a velocidade de impacto, a definição de coeficiente de restituição para obter a velocidade de saída vertical, e de novo a equação cinemática para transformar essa velocidade em altura máxima. A massa da bola não entrou em nenhuma conta porque o choque com a superfície fixa é tratado pelo coeficiente
que já incorpora a relação entre velocidades; energia/força não foi solicitada explicitamente.