01 - Uma partícula está se movendo ao longo de uma linha reta com aceleração \mathrm{a}=\left(12 \mathrm{t}-3 \mathrm{t}^{1 / 2}\right) \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}, onde t é em segundos .Determine a velocidade e a posição da partícula como umfunção do tempo. Quando e. \mathrm{t}=0 \mathrm{v}=0 \mathrm{~s}=15
\begin{aligned} & \text { Velocidade } \\\ & \left({ }^{ \pm}\right) \quad d v=a d t \\\ & \int_{0}^{v} d v=\int_{0}^{t}\left(12 t-3 t^{1 / 2}\right) d t \\\ & \left.v\right|_{0} ^{v}=\left.\left(6 t^{2}-2 t^{3 / 2}\right)\right|_{0} ^{t} \\\ & v=\left(6 t^{2}-2 t^{3 / 2}\right) \mathrm{ft} / \mathrm{s} \end{aligned}
\begin{aligned} & \text { Posição } s=15 \mathrm{ft} \text { at } t=0 \mathrm{~s} \text {. } \\\ & (\xrightarrow{ \pm}) \quad d s=v d t \\\ & \int_{15 \mathrm{ft}}^{s} d s=\int_{0}^{t}\left(6 t^{2}-2 t^{3 / 2}\right) d t \\\ & s_{15 \mathrm{ft}}^{5}=\left.\left(2 t^{3}-\frac{4}{5} t^{5 / 2}\right)\right|_{0} ^{t} \\\ & s=\left(2 t^{3}-\frac{4}{5} t^{5 / 2}+15\right) \mathrm{ft} \end{aligned}çã
Passo 1
O que o problema pede: determinar a velocidade e a posição da partícula como funções do tempo.
Informações dadas (tudo que veio no enunciado): \displaystyle a(t)=\bigl(12t-3t^{1/2}\bigr)\\ \mathrm{ft/s^2}, onde t está em segundos.
Condições iniciais: \displaystyle v(0)=0 e \displaystyle s(0)=15\\ \mathrm{ft}.
Objetivo final: encontrar \displaystyle v(t) e \displaystyle s(t) que satisfaçam a aceleração dada e as condições iniciais.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática do que vamos fazer): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}. Para obter a velocidade a partir da aceleração precisamos integrar: a operação inversa de derivar é integrar. A regra que vamos usar muitas vezes é a regra da potência para integrais:
Aqui n é um número real (por exemplo n=2 ou n=\tfrac12), e C é a constante de integração. Exemplo rápido: \displaystyle \int t^{1/2}\,dt=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}t^{3/2}+C.
Vou usar integrais definidas (com limites) para aproveitar as condições iniciais e evitar ficar carregando constantes desnecessárias: integrar de 0 a t e usar v(0) ou s(0).
Passo 3
Calcular \displaystyle v(t) a partir de \displaystyle a(t). Escrevendo \displaystyle \frac{dv}{dt}=a(t) e integrando ambos os lados de 0 até t:
onde usei \tau como variável de integração no segundo membro para não confundir com o limite superior t. Agora aplico a regra da potência termo a termo: