01 - Uma partícula está se movendo ao longo de uma linha reta com aceleração \mathrm{a}=\left(12 \mathrm{t}-3 \mathrm{t}^{1 / 2}\right) \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}, onde t é em segundos .Determine a velocidade e a posição da partícula como umfunção do tempo. Quando e. \mathrm{t}=0 \mathrm{v}=0 \mathrm{~s}=15
\begin{aligned} & \text { Velocidade } \\\ & \left({ }^{ \pm}\right) \quad d v=a d t \\\ & \int_{0}^{v} d v=\int_{0}^{t}\left(12 t-3 t^{1 / 2}\right) d t \\\ & \left.v\right|_{0} ^{v}=\left.\left(6 t^{2}-2 t^{3 / 2}\right)\right|_{0} ^{t} \\\ & v=\left(6 t^{2}-2 t^{3 / 2}\right) \mathrm{ft} / \mathrm{s} \end{aligned}
\begin{aligned} & \text { Posição } s=15 \mathrm{ft} \text { at } t=0 \mathrm{~s} \text {. } \\\ & (\xrightarrow{ \pm}) \quad d s=v d t \\\ & \int_{15 \mathrm{ft}}^{s} d s=\int_{0}^{t}\left(6 t^{2}-2 t^{3 / 2}\right) d t \\\ & s_{15 \mathrm{ft}}^{5}=\left.\left(2 t^{3}-\frac{4}{5} t^{5 / 2}\right)\right|_{0} ^{t} \\\ & s=\left(2 t^{3}-\frac{4}{5} t^{5 / 2}+15\right) \mathrm{ft} \end{aligned}çã

Passo 1

O que o problema pede: determinar a velocidade e a posição da partícula como funções do tempo.
Informações dadas (tudo que veio no enunciado):
\displaystyle a(t)=\bigl(12t-3t^{1/2}\bigr)\\ \mathrm{ft/s^2}, onde t está em segundos.
Condições iniciais: \displaystyle v(0)=0 e \displaystyle s(0)=15\\ \mathrm{ft}.
Objetivo final: encontrar \displaystyle v(t) e \displaystyle s(t) que satisfaçam a aceleração dada e as condições iniciais.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática do que vamos fazer): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja \displaystyle a(t)=\frac{dv}{dt}. Para obter a velocidade a partir da aceleração precisamos integrar: a operação inversa de derivar é integrar. A regra que vamos usar muitas vezes é a regra da potência para integrais:
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{(para \(n\neq -1\))}
Aqui n é um número real (por exemplo n=2 ou n=\tfrac12), e C é a constante de integração. Exemplo rápido: \displaystyle \int t^{1/2}\,dt=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}t^{3/2}+C.
Vou usar integrais definidas (com limites) para aproveitar as condições iniciais e evitar ficar carregando constantes desnecessárias: integrar de 0 a t e usar v(0) ou s(0).

Passo 3

Calcular \displaystyle v(t) a partir de \displaystyle a(t). Escrevendo \displaystyle \frac{dv}{dt}=a(t) e integrando ambos os lados de 0 até t:
\int_{0}^{v} dv=\int_{0}^{t} \bigl(12\tau-3\tau^{1/2}\bigr)\,d\tau,
onde usei \tau como variável de integração no segundo membro para não confundir com o limite superior t. Agora aplico a regra da potência termo a termo:
\int_{0}^{t}12\tau\,d\tau=12\cdot\frac{\tau^{2}}{2}\Big|_{0}^{t}=6t^{2},
\int_{0}^{t}-3\tau^{1/2}\,d\tau=-3\cdot\frac{\tau^{3/2}}{3/2}\Big|_{0}^{t}=-3\cdot\frac{2}{3}t^{3/2}=-2t^{3/2}.
Somando os contribuintes e o lado esquerdo:
v-0=6t^{2}-2t^{3/2}.
Como v(0)=0 já estava embutido na integral, obtemos
\boxed{\,v(t)=6t^{2}-2t^{3/2}\\ \mathrm{ft/s}\,}.

Passo 4

Calcular \displaystyle s(t) a partir de \displaystyle v(t). Temos \displaystyle \frac{ds}{dt}=v(t)=6t^{2}-2t^{3/2}. Integro novamente de 0 até t:
\int_{15}^{s} ds=\int_{0}^{t}\bigl(6\tau^{2}-2\tau^{3/2}\bigr)\,d\tau.
Calculo cada integral usando a regra da potência:
\int_{0}^{t}6\tau^{2}\,d\tau=6\cdot\frac{\tau^{3}}{3}\Big|_{0}^{t}=2t^{3},
\int_{0}^{t}-2\tau^{3/2}\,d\tau=-2\cdot\frac{\tau^{5/2}}{5/2}\Big|_{0}^{t}=-2\cdot\frac{2}{5}t^{5/2}=-\frac{4}{5}t^{5/2}.
O lado esquerdo dá s-15. Portanto
s-15=2t^{3}-\frac{4}{5}t^{5/2}.
Isolando s,
\boxed{\,s(t)=2t^{3}-\frac{4}{5}t^{5/2}+15\\ \mathrm{ft}\,}.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando \displaystyle s(t) devemos obter \displaystyle v(t), e derivando \displaystyle v(t) obtemos \displaystyle a(t).
Derivando s(t):
\frac{d}{dt}\!\left(2t^{3}-\frac{4}{5}t^{5/2}+15\right)=6t^{2}-\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{2}t^{3/2}=6t^{2}-2t^{3/2}=v(t).
Derivando v(t):
\frac{d}{dt}\!\left(6t^{2}-2t^{3/2}\right)=12t-2\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}=12t-3t^{1/2}=a(t).
Tudo confere — resultado consistente.

Resposta

v(t)=6t^{2}-2t^{3/2}\\ \mathrm{ft/s}
s(t)=2t^{3}-\dfrac{4}{5}t^{5/2}+15\\ \mathrm{ft}

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