Questão 11. Escreva as funções senoidais utilizando a representação fasorial e realize as operações.
y=100 \cos \left(300 t+45^{\circ}\right)+500 \cos \left(300 t-60^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever as funções senoidais usando representação fasorial e realizar as operações (ou seja, somar as duas senóides e apresentar o resultado como uma única senóide). As informações dadas são:
y=100\cos\!\left(300t+45^\circ\right)+500\cos\!\left(300t-60^\circ\right).
Lista de dados extraídos do enunciado:
\text{Amplitude do primeiro termo: }100,\quad \text{fase: }45^\circ.
\text{Amplitude do segundo termo: }500,\quad \text{fase: }-60^\circ.
\text{Frequência angular comum: }\omega=300\\ \text{rad/s}.ê

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): quando duas senóides têm a mesma frequência ( \omega) podemos representá‑las por fasores (números complexos fixos) e somá‑los como vetores no plano complexo. A correspondência é:
A\cos(\omega t+\varphi)=\Re\{A e^{j\varphi} e^{j\omega t}\},
onde A e^{j\varphi} é o fasor (número complexo) e \Re\{\cdot\} indica a parte real. Então, para somar senóides com a mesma \omega basta somar os fasores A e^{j\varphi} e depois voltar à forma temporal tomando a parte real do fasor resultante multiplicado por e^{j\omega t}.

Passo 3

Escrever os fasores correspondentes (notação polar):
Y_1=100\angle 45^\circ,\qquad Y_2=500\angle -60^\circ.
Aqui a notação A\angle\varphi significa o número complexo A e^{j\varphi} (ângulo em graus).

Passo 4

Converter os fasores para forma retangular (componentes real e imaginária). Usamos \cos e \sin das fases:
Y_1=100(\cos45^\circ + j\sin45^\circ)=100\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Numericamente,
\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,70710678,
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Y_1\approx 100(0,70710678 + j0,70710678)=70,7107 + j70,7107.
Para Y_2:
\cos(-60^\circ)=\cos60^\circ=0,5,\qquad \sin(-60^\circ)=-\sin60^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,86602540,
então
Y_2=500(0,5 + j(-0,86602540))=250 - j433,0127.

Passo 5

Somar os fasores em forma retangular (somar parte real com real e imaginária com imaginária):
Y=Y_1+Y_2=(70,7107+250)+j(70,7107-433,0127).
Calculando:
\Re\{Y\}=320,7107,\qquad \Im\{Y\}=-362,3020,
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Y\approx 320,7107 - j362,3020.

Passo 6

Calcular a magnitude do fasor resultante. Podemos usar a fórmula direta:
|Y|=\sqrt{(\Re\{Y\})^2+(\Im\{Y\})^2}.
Ou usar a fórmula da soma de vetores (lei dos cossenos):
|Y|=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos(\phi_1-\phi_2)},
com A=100, B=500, \phi_1=45^\circ, \phi_2=-60^\circ. A diferença de fase é
\phi_1-\phi_2=45^\circ-(-60^\circ)=105^\circ.
Usando a segunda fórmula (mais curta para cálculo):
|Y|=\sqrt{100^2+500^2+2\cdot100\cdot500\cos105^\circ}.
Sabendo \cos105^\circ=\cos(180^\circ-75^\circ)=-\cos75^\circ\approx -0,25881905, obtemos
|Y|=\sqrt{10\,000+250\,000+100\,000\cdot(-0,25881905)}=\sqrt{234\,118,1}\approx 483,886.
(Confira que isso é consistente com \sqrt{320,7107^2+(-362,3020)^2}.)

Passo 7

Calcular a fase do fasor resultante (em graus). Usamos a função \operatorname{atan2} que leva em conta o quadrante:
\angle Y=\operatorname{atan2}\!\big(\Im\{Y\},\Re\{Y\}\big)=\operatorname{atan2}(-362,3020,\,320,7107).
O valor absoluto da tangente é
\left|\tan\right|=\frac{362,3020}{320,7107}\approx 1,1295,
portanto
\angle Y\approx -48,659^\circ
(o sinal negativo vem de \Im\{Y\}<0, indicativo de uma defasagem).

Passo 8

Expressar o fasor resultante em notação polar e voltar para o domínio do tempo:
Y\approx 483,886\angle -48,659^\circ.
Voltando ao tempo (parte real):
y(t)=483,886\cos\!\big(300t-48,659^\circ\big).
Interpretação rápida: a soma das duas senóides de mesma frequência é uma única senóide com amplitude aproximadamente 483,886 e fase -48,659^\circ.

Resposta

y(t)=483,886\cos\!\big(300t-48,659^\circ\big)

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