3.12 The differential equation model for a particular chemical process has been found by testing to be as follows:
tau1 tau2 d^2 yd t^2+(tau1+tau2) d yd t+y=K u(t) where tau1 and tau2 are constant parameters and u(t) is the input function of time. What are the functions of time (e.g., e^-t) in the solution for each output y(t) for the following cases? (Optional: Find the solutions for y(t).)
u(t)=a S(t) unit step function

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma equação diferencial de segunda ordem que modela um processo químico:
tau1,tau2,d^2ydt^2 +(tau1+tau2),dydt +y ;=; K,u(t),
onde são constantes, é o sinal de entrada, e neste caso (step de amplitude ).
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem (sistema overdamped, pois os pólos são reais).
O que vamos precisar:
  1. Resolver a parte homogênea (achar raízes da característica).
  2. Achar uma solução particular para o degrau.
  3. Combinar tudo e aplicar as condições iniciais (assumindo e , típicas em problemas de step).

Passo 2

Escrevendo a equação homogênea (colocando tau1tau2,y''(t)+(tau1+tau2),y'(t)+y(t)=0 ):
tau1tau2,s^2+(tau1+tau2),s+1=0
A equação característica é
Vamos achar as raízes e .

Passo 3

Usando a fórmula de Bhaskara em s1,2 =-(tau1+tau2) pmraiz(tau1+tau2)^2-4,tau1tau2 2,tau1tau2 :
s1=-1tau1, s2=-1tau2
Perceba que yh(t)=A,e^-t/tau1+B,e^-t/tau2 , então
Isso indica que a solução homogênea é combinação de e :

Passo 4

Agora, a solução particular para entrada degrau constante tau1tau2cdot0+(tau1+tau2)cdot0+yp=K,a Longrightarrow yp=K,a é um valor constante .
Substituindo (constante) na eq. original:

Passo 5

A solução geral fica
y(t)=yh(t)+yp =A,e^-t/tau1+B,e^-t/tau2+K,a
Para achar A+B=-K,a, Atau1+Btau2=0, e A=-K,a,tau1tau1-tau2, B= ;K,a,tau2tau1-tau2 , usamos as condições iniciais típicas para step (antes do degrau, assume-se e , e pula em ).
Em :
  1. .
  2. Derivando :
    .
    Em : .
Resolvendo o sistema
acha-se

Passo 6

Substituindo em y(t) =K,a;-;K,a,tau1tau1-tau2e^-t/tau1 ;+;K,a,tau2tau1-tau2e^-t/tau2 :
boxedy(t)=K,agl[1 -tau1,e^-t/tau1-tau2,e^-t/tau2tau1-tau2gr]
Ou, de um jeito mais limpinho:

Resposta

As funções de tempo que aparecem na solução são:
1 (constante de regime permanente),
y(t)=K,al[1 -tfractau1,e^-t/tau1-tau2,e^-t/tau2tau1-tau2r] e
.
E, incluindo o coeficiente, a resposta ao degrau é

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