3.12 The differential equation model for a particular chemical process has been found by testing to be as follows:
where
and
are constant parameters and
is the input function of time. What are the functions of time (e.g.,
) in the solution for each output
for the following cases? (Optional: Find the solutions for
.)
unit step function
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma equação diferencial de segunda ordem que modela um processo químico:
onde
são constantes,
é o sinal de entrada, e neste caso
(step de amplitude
).
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem (sistema overdamped, pois os pólos são reais).
O que vamos precisar:
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem (sistema overdamped, pois os pólos são reais).
O que vamos precisar:
- Resolver a parte homogênea (achar raízes da característica).
- Achar uma solução particular para o degrau.
- Combinar tudo e aplicar as condições iniciais (assumindo
e , típicas em problemas de step).
Passo 2
Escrevendo a equação homogênea (colocando
):
A equação característica é
Vamos achar as raízes
e
.
Passo 3
Usando a fórmula de Bhaskara em
:
Perceba que
, então
Isso indica que a solução homogênea é combinação de
e
:
Passo 4
Agora, a solução particular para entrada degrau constante
é um valor constante
.
Substituindo (constante) na eq. original:
Substituindo
Passo 5
A solução geral fica
Para achar
e
, usamos as condições iniciais típicas para step (antes do degrau, assume-se
e
, e
pula em
).
Em :
Em
-
. - Derivando
:
.
Em: .
Resolvendo o sistema
acha-se
Passo 6
Substituindo em
:
Ou, de um jeito mais limpinho:
Resposta
As funções de tempo que aparecem na solução são:
1 (constante de regime permanente),
e
.
E, incluindo o coeficiente, a resposta ao degrau é
1 (constante de regime permanente),
E, incluindo o coeficiente, a resposta ao degrau é