Seja o modelo de um reator dado por:
Sabe-se que:
Determine a concentração de saída no estado estacionário pelo modelo linearizado e pelo não linear.
Determine a concentração de saída no estado estacionário pelo modelo linearizado e pelo não linear.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um reator cuja concentração C varia assim:
Os dados são:
• min ⇒
,min⁻¹
• ,ft³ (lbmol)⁻¹ min⁻¹
• ,lbmol ft⁻³
O objetivo é achar a concentração de saída em regime permanente (steady‐state) de dois jeitos:
•
•
•
O objetivo é achar a concentração de saída em regime permanente (steady‐state) de dois jeitos:
- usando o modelo linearizado (ou seja, ignorando o termo
), - usando o modelo não linear (resolvendo a equação quadrática completa).
Para resolver vamos precisar:
- Saber que em regime permanente
. - Entender como montar e resolver uma equação de 1º grau (no linearizado) e de 2º grau (no não linear).
Passo 2
Teoria rápida de steady‐state:
Quando o sistema atinge equilíbrio, a concentração para de mudar, então . Aí a equação diferencial vira uma equação algébrica.
Quando o sistema atinge equilíbrio, a concentração para de mudar, então
No modelo linear a gente simplesmente apaga o termo não linear
.
Fica:
Fica:
Como
, cancela e dá
Passo 3
Agora é só colocar número no linear:
Passo 4
No modelo não linear mantemos o
. Em regime permanente:
Chama
. Então
Isso é uma equação quadrática
com
Para resolver usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Vamos calcular o discriminante:
Então as raízes são
Como a concentração não pode ser negativa, a gente escolhe
Resposta
• Modelo linearizado:
,lbmol/ft³
• Modelo não linear: ,lbmol/ft³
• Modelo não linear: