Seja o modelo de um reator dado por:
d Cd t=FV Ci-FV C-k2 C^2
Sabe-se que:
VF=5 min k2=0.32 ft^3 lbmol^-1 min^-1
C is =1.25 lbmol ft^-3
Determine a concentração de saída no estado estacionário pelo modelo linearizado e pelo não linear.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um reator cuja concentração C varia assim:
dCdt = FV,Ci ;-;FV,C ;-; k2,C^2
Os dados são:
min ⇒ ,min⁻¹
,ft³ (lbmol)⁻¹ min⁻¹
,lbmol ft⁻³
O objetivo é achar a concentração de saída em regime permanente (steady‐state) de dois jeitos:
  1. usando o modelo linearizado (ou seja, ignorando o termo ),
  2. usando o modelo não linear (resolvendo a equação quadrática completa).
Para resolver vamos precisar:
  • Saber que em regime permanente .
  • Entender como montar e resolver uma equação de 1º grau (no linearizado) e de 2º grau (no não linear).

Passo 2

Teoria rápida de steady‐state:
Quando o sistema atinge equilíbrio, a concentração para de mudar, então 0 = FV,Ci ;-;FV,C Longrightarrow FV,C = FV,Ci . Aí a equação diferencial vira uma equação algébrica.
No modelo linear a gente simplesmente apaga o termo não linear C = Ci .
Fica:
Como , cancela e dá

Passo 3

Agora é só colocar número no linear:
Clinear = Ci = 1,25 lbmol/ft^3

Passo 4

No modelo não linear mantemos o 0 = FV,Ci ;-;FV,C ;-; k2,C^2 . Em regime permanente:
k2,C^2 + a,C - a,Ci = 0
Chama A = k2, B = a, C0 = -a,Ci . Então
C = -B pm raizB^2 - 4AC02A = -a pm raiza^2 + 4,k2,a,Ci2,k2
Isso é uma equação quadrática com
Para resolver usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Vamos calcular o discriminante:
a^2 + 4,k2,a,Ci = (0,2)^2 + 4cdot0,32cdot0,2cdot1,25 = 0,04 + 0,32 = 0,36,
C = -0,2 pm 0,62cdot0,32 Longrightarrow C1 = 0,40,64=0,625, C2 = -0,80,64=-1,25 .
Então as raízes são
Cnão linear = 0,625 lbmol/ft^3
Como a concentração não pode ser negativa, a gente escolhe
ã

Resposta

• Modelo linearizado: ,lbmol/ft³
• Modelo não linear: ,lbmol/ft³

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